Kausalität und Antiteilchen

Dies ist eine Folge der Tatsache, dass es keine positive Frequenzfunktion gibt, die außerhalb des Lichtkegels Null ist. Wenn Sie ein Teilchen in der Relativitätstheorie haben, erfordert seine Dynamik, dass es schneller als Licht geht, und um die Kausalität wiederherzustellen, muss es in der Zeit zurückgehen. Dies wird in meiner Antwort hier erklärt: Geht Antimaterie-Materie in der Zeit rückwärts? .

Wenn Sie ein Quantenteilchen mit positiver Energie haben, ist die Ausbreitungsfunktion$G(x-y)$ist die Amplitude, um von x nach y zu gehen. Diese Ausbreitung wird als kausal bezeichnet, wenn der Propagator Null ist, es sei denn, x liegt in der Zukunft von y, sodass bei einer Zeit-Raum-Zerlegung$G(t,r)$ist Null für t < 0. In diesem Fall die Fourier-Transformation$G(\omega,k)$kann nicht für alle verschwinden$\omega<0$, weil es für eine Nicht-Null-Funktion und ihre Fourier-Transformation unmöglich ist, beide in einer Halbebene genau Null zu sein.

Um dies zu sehen, ist der Zustand des Verschwindens von$G(t,r)$für t<0 impliziert die Analytizität der Fourier-Transformation für$\omega$mit negativem Imaginärteil, da in diesem Bereich die Fourier-Transformation von G eine Summe abklingender Exponentiale wird. Eine analytische Funktion kann nicht in einem Bereich Null sein, ohne überall Null zu sein, daher ist die Fourier-Transformation einer zukunftsgerichteten Funktion keine streng positive Energie.

Aus diesem Grund gibt es keinen relativistischen Teilchenformalismus, in dem die Teilchen sowohl positive Energien als auch kausale Ausbreitung haben. Sie können sich entweder mit Feldern befassen, in diesem Fall ist der Partikelbegriff nicht lokal, oder Sie können mit Partikeln umgehen, aber dann gehen sie in der Zeit zurück.

Der Back-in-Time-Formalismus verwendet den standardmäßigen nichtkausalen Feynman-Propagator, der ist

bis hin zu Zählermodifikationen für höheren Spin, mit der$i\epsilon$Pol Rezept. Dieser hat zwei Pole drin$\omega$für alle$k$, und die Polvorschrift drückt einen Pol auf einen leicht positiven Imaginärteil und den anderen Pol auf einen leicht negativen Imaginärteil. Imaginär gibt es Singularitäten in beiden Richtungen$\omega$Richtung, was bedeutet, dass die Ausbreitung nicht kausal ist.

Der Teil, der in der Zeit vorwärts geht, ist der positive Energieteil; Der Teil, der in der Zeit zurückgeht, ist der Teil der negativen Energie.

Dies ist hauptsächlich ein Problem des komplexen Klein-Gordon-Feldes (es gibt zum Beispiel keine solche Anforderung für das Dirac-Feld). Es lässt sich am einfachsten mit dem Selbstpropagator des komplexen Klein-Gordon-Feldes unter Verwendung ebener Wellen in x-Richtung zeigen:

Die Klein-Gordon-Gleichung ist.

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} ~~=~~ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} - m^2 \right)~\psi$

Ein einfacher Generator der Zeitentwicklung wäre.

$\frac{\partial \psi}{\partial t} ~~=~~\pm i \sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial x^2} + m^2}~\psi$

Mit einem (-) Zeichen für Partikel und einem (+) Zeichen für Anti-Partikel. Dieser Generator ist jedoch nicht lokal , da er einer unendlichen Reihe von Ableitungen entspricht. Tatsächlich ist es gleich einer Faltung mit einer Bessel-K-Funktion.

$\frac{\partial \psi}{\partial t} ~~=~~\pm i \sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial x^2} + m^2}~\psi ~~=~~ \frac{m}{x}K_1(mx)~*~\psi$

Quelle: Wikipedia

Dies bedeutet sofortige Ausbreitung seitdem$\partial\psi/\partial t$hängt von nicht lokalen Werten von ab$\psi$. Dieses Problem geht dann in den allgemeinen Zeitentwicklungsoperator für beliebige ein$t$.

$\psi(t) ~~=~~ \exp\left\{ \pm i \sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial x^2} + m^2}\right\}~\psi$

Aber jetzt kommt der Clou:

Die Summe der Teilchen- und Antiteilchenpropagatoren ist lokal (innerhalb des Lichtkegels)

$\psi(t) ~~=~~ \frac12\Big(\exp\left\{ + i ...\right\} +\exp\left\{ - i ...\right\}\Big)\psi ~~=~~ \cos\left\{ \sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial x^2} + m^2}\right\}~\psi$

Da die Taylor-Reihenentwicklung des Kosinus nur gerade Potenzen des Arguments enthält, gibt es keinen Quadratwurzeloperator mehr.

Es muss gesagt werden, dass der Teil außerhalb des Lichtkegels zunächst klein ist, in der Größenordnung des Compton-Radius des Teilchens. Mit fortschreitender Vermehrung schrumpft sie aber auch weiter. Für ein Elektron geht es um$10^{-13}m$zu Beginn der Vermehrung, sondern nur$10^{-20}m$nach einem Lichtmikrometer (die Zeit, in der sich Licht ausbreitet 1$\mu m$). Sie schrumpft mit der Zeit linear weiter weg.

Dieses Problem tritt nicht für den Zeitentwicklungsoperator der korrekten Gleichung für das Elektron auf: Die Dirac-Gleichung. Diese Gleichung ist linear und$\partial\psi/\partial t$enthält nicht die obige Quadratwurzel.

Hans.