Kinetische Energie "Paradoxon" - wo liege ich hier falsch? [Duplikat]

Um es kurz zu machen: Arbeit und Änderung der kinetischen Energie sind rahmenabhängige Größen, obwohl das Arbeits-Energie-Theorem in beiden Rahmen gilt. Unter Verwendung der Tatsache, dass Masse und Kraft rahmenunabhängige Größen sind, können wir sehen, dass die zusätzliche Änderung der kinetischen Energie, wie sie im unbewegten Rahmen zu sehen ist, darauf zurückzuführen ist, dass ein Beobachter in diesem Rahmen die ausgeübte Kraft als durch a wirkend beobachtet größerer Abstand als der im bewegten Rahmen beobachtete. Um das Rätsel „wo ist die zusätzliche Energie“ zu lösen, stellen wir fest, dass die im unbewegten Rahmen beobachtete Gesamtenergieänderung zwei Komponenten hat und die „fehlende“ Energie von der Arbeit des Objekts stammt tun muss, um eine konstante Geschwindigkeit zu halten.

Hier sind die Details:

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Betrachten wir die folgende Situation. Ein Physikstudent steht auf einem Karren, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt$v$. Nennen wir diesen Bezugsrahmen$A$. Sie wirft einen Ball nach vorne und übt dabei eine Kraft aus$F$über eine gewisse Distanz, und die Endgeschwindigkeit des Balls endet$v_{\textrm{A}}$in diesem beweglichen Rahmen. Ihr Laborpartner steht stationär auf dem Boden (Bild B) und beobachtet diesen Vorgang, und er sieht die Endgeschwindigkeit des Balls$v_{\textrm{B}}=v+v_{\textrm{A}}$. Unter Vernachlässigung der Massenfaktoren (weil die Masse eine Galileische Invariante ist), ist die in Rahmen A beobachtete Änderung der kinetischen Energie

$$\Delta K_{\textrm{A}}=\frac{1}{2}v_{\textrm{A}}^2,$$ und die in Rahmen B beobachtete Änderung der kinetischen Energie ist $$\Delta K_{\textrm{B}}=\frac{1}{2}(v+v_{\textrm{A}})^2-\frac{1}{2}v^2 = \frac{1}{2}v_{\textrm{A}}^2 + vv_{\textrm{A}}>\frac{1}{2}v_{\textrm{A}}^2 = \Delta K_{\textrm{A}}.$$ Anscheinend gibt es eine größere Änderung der kinetischen Energie in Frame B als in Frame A, wie das OP beobachtete!

Um dieses Rätsel zu lösen, brauchen wir zwei Dinge. Erstens kann direkt bewiesen werden, dass die Kraft$F$Die auf den Ball ausgeübte Kraft ist ebenfalls eine Galilei-Invariante, sodass beide Beobachter dieselbe auf den Ball ausgeübte Kraft sehen. Da jedoch die erste Schülerin auf dem Wagen steht, sieht sie, wie sie aus einiger Entfernung eine Kraft auf den Ball ausübt$d$, und so ist die am Ball verrichtete Arbeit

$$W_{\textrm{A}} = Fd.$$ In Frame B umfasst die Distanz, über die die Kraft ausgeübt wird, die Distanz, die der Wagen während dieser Zeit zurückgelegt hat, d. h. $$W_{\textrm{B}} = F(d +v\Delta t),$$ unter der Annahme, dass der Wurf eine gewisse Zeit in Anspruch nimmt$\Delta t$.

Der Arbeitsenergiesatz gilt in beiden Rahmen, und wir können sehen, wie die Energie, die dem Ball hinzugefügt wird, wie in Rahmen B beobachtet, größer ist als die in Rahmen A beobachtete! Tatsächlich können wir zeigen, dass sie gleich sind.

Die Zeit, die benötigt wird, um den Ball von einer Geschwindigkeit von zu beschleunigen$0$zu einer Geschwindigkeit$v_{\textrm{A}}$über eine Distanz$d$in Rahmen A ist gegeben durch (wieder ohne Berücksichtigung der Masse)

$$\Delta t = \frac{\Delta v_{\textrm{A}}}{a} = \frac{v_{\textrm{A}}}{F},$$ Wenn wir dies also in den Ausdruck für die in Frame B geleistete Arbeit einsetzen, erhalten wir $$W_{\textrm{B}} = F(d +v\Delta t)= F\left(d +v\frac{v_{\textrm{A}}}{F}\right) = Fd + vv_{\textrm{A}}.$$ Wir können sehen, dass die zusätzliche Arbeit, die in Frame B beobachtet wird, genau der zusätzlichen Energiemenge entspricht, die in Frame A im Vergleich zu Frame B gewonnen wird.

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Jetzt gibt es noch einige intuitive Dinge zu erarbeiten. Sicher, Arbeit und Änderungen der kinetischen Energie sind rahmenabhängig, aber es fühlt sich immer noch so an, als würde die Energie beim Wechseln von einem Rahmen zum anderen verloren gehen. Wo ist die Bedeutung der zusätzlichen Energie, die in einem Rahmen im Vergleich zum anderen beobachtet wird? Insbesondere erwähnt das OP die von Batterien verbrauchte Energie.

Stellen Sie sich in Bild A vor, dass eine batteriebetriebene Maschine den Ball wirft. Es muss eigentlich nur eine Energie gleich liefern$v_{\textrm{A}}^2/2$um den Ball im beweglichen Rahmen zu beschleunigen! Woher kommt also diese zusätzliche Energie, wie sie in Bild B zu sehen ist? Es kommt aus dem Einkaufswagen . Der Wagen erhält von der Pitching-Maschine einen Rückstoß, da die Maschine den Wagen nach hinten drückt, um den Ball nach vorne zu schieben. Daher muss der Wagen angetrieben werden , um während des Wurfs auf einer konstanten Geschwindigkeit zu bleiben. Wie viel Energie wird benötigt, um bei konstanter Geschwindigkeit zu bleiben?

Nehmen wir der Argumentation halber an, dass die Pitching-Maschine keine Masse hat. Dann ist die Kraft, die nach hinten auf den Wagen ausgeübt wird, gleich der Kraft, die nach vorne auf den Ball ausgeübt wird, gemäß Newtons 3. Gesetz. Um beim Wurf mit konstanter Geschwindigkeit zu bleiben, muss der Wagen dieser Kraft entgegenwirken, indem er seine eigene Kraft nach hinten auf den Boden ausübt . Natürlich ist die Menge an Arbeit, die während dieses Prozesses geleistet wird$Fv\Delta t$, und wir haben bereits gezeigt , dass dies gleich der zusätzlichen Menge an Energie ist , die fehlt .

Wo ist mein Fehler?

Ihr Fehler besteht darin, das Momentum zu vernachlässigen. Um die Geschwindigkeit zu ändern, benötigen Sie sowohl Schwung als auch Energie. Also, um Ihr Objekt zu beschleunigen$A$muss mit einem anderen Objekt interagieren.

Unabhängig davon, welchen Mechanismus Sie verwenden, scheint jegliche Energie zu fehlen, wenn Sie das andere Objekt untersuchen, dasjenige, das$A$interagiert, dort findest du die fehlende Energie.

Im zweiten beweglichen Referenzrahmen entlädt diese Batterie 1 Energieeinheit durch Kraft über eine Distanz. Aus der Perspektive des ursprünglichen ruhenden Systems bewegt sich die Batterie bereits und daher wird Kraft über eine größere Distanz ausgeübt, was die Energiediskrepanz berücksichtigt.

Stellen Sie sich ebenso vor, dass die 2. Batterie im 2. Frame in Ruhe bleibt. Es übt eine Kraft aus, der für die Dauer der Beschleunigung eine gleiche Gegenkraft gegenübersteht. Es wird keine Arbeit geleistet, um die Batterie an Ort und Stelle zu halten, da sie sich nicht bewegt.

Aber im ursprünglichen Rahmen bewegt es sich, so dass die statische Kraft, die die Batterie festhält, jetzt als dynamische Kraft und zusätzlich angesehen wird$W=\int Fdx$wird zur endgültigen kinetischen Energie addiert.