Wie ist eine Änderung von KE in jedem Trägheitsbezugssystem gleich?

Dieser Artikel besagt, dass eine Änderung der kinetischen Energie (KE) in allen Trägheitsreferenzrahmen konstant bleibt.

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Stellen Sie sich einen Vater + Sohn vor, der mit Geschwindigkeit in einem fahrenden Zug sitzt$v_t$.
Nach einiger Zeit steht der Sohn auf und beginnt mit Geschwindigkeit zu laufen$v_s$

Rahmen des Vaters:
Änderung in KE des Sohnes =$\frac{1}{2}mv_s^2$

Stationsrahmen:
Änderung in KE von Sohn =$\frac{1}{2}m(v_t+v_s)^2-\frac{1}{2}mv_t^2 =\frac{1}{2}mv_s^2 + \color{red}{mv_tv_s}$

Diese beiden sind eindeutig nicht gleich. Was ist falsch an meinem Denken?

Nichts ist falsch an deinem Denken. Diese beiden Werte sind unterschiedlich.

Der Artikel ist entweder falsch oder enthält einen Vorbehalt bezüglich eines geschlossenen Systems (laut einem Kommentator enthält der Artikel einen solchen Vorbehalt).

Um den Unterschied zu einem geschlossenen System zu sehen, betrachten Sie dasselbe Beispiel, aber lassen Sie keine äußeren Kräfte zu (Vater und Sohn sind die einzigen interagierenden Massen im System).

Nehmen Sie im Beispiel des geschlossenen Systems weiterhin an, dass Vater und Sohn die gleiche Masse haben. In einem geschlossenen System kann der Sohn nur durch eine vom Vater ausgeübte Kraft loslaufen. Aufgrund des Sohnes wird es eine gleiche und entgegengesetzte Kraft auf den Vater geben. Dies führt zur Impulserhaltung. Der Sohn wird sich mit Geschwindigkeit bewegen$v_s$und der Vater mit Geschwindigkeit$-v_s$(Erinnern Sie sich, wir haben angenommen, dass sie die gleiche Masse haben, und nehmen hier weiter an, dass dieses Beispiel eindimensional ist).

Also haben wir:

Rahmen Eins:

Änderung in KE =$\frac{1}{2}mv_s^2 + \frac{1}{2}m(-v_s)^2 - (0 + 0) = m v_s^2$

Rahmen zwei:

Änderung in KE =$\frac{1}{2}m(v_t+v_s)^2 + \frac{1}{2}m(v_t-v_s)^2 - (\frac{1}{2}mv_t^2 + \frac{1}{2}mv_t^2) = m {v_s}^2$

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Obwohl das obige Beispiel sehr spezifisch ist, gilt das Ergebnis viel allgemeiner (für jedes geschlossene System).

In einem geschlossenen System können die Impulsänderungen jeder Masse nur aufgrund von Kräften anderer Massen auftreten. Nach Newtons drittem Gesetz wird es immer Paare gleicher und entgegengesetzter Kräfte geben, die Impulsänderungen bewirken, daher ist die Summe aller Kräfte Null und daher der Gesamtimpuls$\mathbf P$wird konserviert. Um dies deutlicher zu sehen, betrachten Sie das Gesamtmomentum in Frame 1:

$$\mathbf P = \sum_i m_i \mathbf{v}_i\;,$$ wo die Summe über alle Massen im System ist.

Diese Menge ($\mathbf P$) ist in einem geschlossenen System konserviert, weil:

$$\frac{d\mathbf P}{dt} = \sum_i m_i \mathbf{a}_i = \sum_i \mathbf{F}_i = 0\;.$$ Beachten Sie, dass bei Vorhandensein externer Kräfte der Gesamtimpuls des Systems nicht erhalten bleiben würde, aber es gibt keine externen Kräfte, da dies ein geschlossenes System ist.

Um genauer zu sehen, warum die endgültige Gleichheit in der obigen Gleichung gilt, erinnern Sie sich daran$\mathbf{F}_i = \sum_j \mathbf{F}_{ij}\;,$Wo$\mathbf{F}_{ij}$bedeutet "die Kraft auf die Masse i aufgrund der Masse j." Newtons 3. Gesetz besagt das$\mathbf{F}_{ij} = -\mathbf{F}_{ji}$. Deshalb:

$$\sum_i \mathbf{F}_i = \sum_{i,j} \mathbf{F}_{ij} = \sum_{i,j} \mathbf{F}_{ji} = -\sum_{i,j}\mathbf{F}_{ij} = -\sum_i \mathbf{F}_i\;,$$ wobei die zweite Gleichheit darauf zurückzuführen ist, dass wir die Dummy-Variable umbenennen können$i$Zu$j$Und$j$Zu$i$, und die dritte Gleichheit gilt aufgrund des 3. Newtonschen Gesetzes. Die obige Gleichung sagt das aus$\sum_i \mathbf{F}_i$ist gleich dem Negativen von sich selbst, was bedeutet, dass es Null ist.

Die gesamte kinetische Energie in Frame 1 ist

$$KE_1 = \sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2$$

Die gesamte kinetische Energie in Frame 2 ist

$$KE_2 = \sum_i \frac{1}{2} m_i (\mathbf{v}_i + \mathbf{V})^2 = KE_1 + \mathbf{P}\cdot \mathbf{V} + \frac{1}{2}MV^2\;,$$ Wo$\mathbf V$ist die (konstante) Relativgeschwindigkeit zwischen den Trägheitsrahmen und wo$M = \sum_i m_i$.

Weil$\mathbf{P}$,$M$, Und$\mathbf{V}$konstant sind, haben wir also:

$$\Delta KE_2 = \Delta KE_1 + 0 + 0 = \Delta KE_1$$

Da der Arbeitsenergiesatz aus dem zweiten Newtonschen Bewegungsgesetz abgeleitet wird , gilt er in jedem Trägheitsbezugssystem . Beobachter in zwei verschiedenen Trägheitsbezugssystemen sind sich jedoch möglicherweise nicht über Arbeits- und kinetische Energiewerte einig.

Beispiel: Ein Mann beginnt, einen Massenkarren zu schieben$m$mit konstanter Kraft$F$über einen endlichen Zeitraum$\Delta t$, und der Wagen ruhte zunächst im Bodenrahmen . Was ist die Arbeit und Änderung der kinetischen Energie des Wagens nach$\Delta t$?

Bodenbezugsrahmen

Da der Wagen vom Bodenrahmen aus gesehen zunächst in Ruhe ist$v_0 = 0$, die Geschwindigkeit und Verschiebung nach$\Delta t$Sind

$$\begin{aligned} v_1 &= v_0 + a \Delta t = a \Delta t\\ \Delta s &= \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 + v_0 \Delta t = \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 \end{aligned}$$

Wo$a = F/m$ist die Beschleunigung. Die Arbeit und Änderung der kinetischen Energie sind

$$\begin{aligned} W &= F \cdot \Delta s = ma \cdot \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 = \frac{1}{2} m (a \Delta t)^2 \\ \Delta K &= \frac{1}{2} m v_1^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (a \Delta t)^2 \end{aligned}$$

Fahrzeug bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit$V$relativ zum Boden

In diesem (Trägheits-)Bezugssystem liegt die Anfangsgeschwindigkeit$v_0 = -V$, und die Geschwindigkeit und Verschiebung danach$\Delta t$Sind

$$\begin{aligned} v_1' &= v_0' + a \Delta t = -V + a \Delta t \\ \Delta s' &= \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 + v_0 \Delta t = \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 - V \Delta t \end{aligned}$$

Wo$a = F/m$ist die Beschleunigung, die gleich der im Bodenbezugssystem ist. Die Arbeit und Änderung der kinetischen Energie sind

$$\begin{aligned} W' &= F \cdot \Delta s' = ma \cdot (\frac{1}{2} a (\Delta t)^2 - V \Delta t) = \frac{1}{2} m (a \Delta t)^2 - m V (a \Delta t) \\ \Delta K' &= \frac{1}{2} m v_1'^2 - \frac{1}{2} m v_0'^2 = \frac{1}{2} m (-V + a \Delta t)^2 - \frac{1}{2} m (-V)^2 = \frac{1}{2} m (a \Delta t)^2 - m V (a \Delta t) \end{aligned}$$

Vergleich

Der Arbeit-Energie-Satz gilt in beiden Bezugsrahmen, dh$\Delta K = W$Und$\Delta K' = W'$, aber die Beobachter in zwei verschiedenen (Trägheits-)Bezugssystemen stimmen nicht über die Absolutwerte von Arbeit und Änderung der kinetischen Energie überein, dh$W \neq W'$Und$\Delta K \neq \Delta K'$.

Obwohl der Zug viel massiver ist als der Sohn, ist seine Masse nicht unendlich. Wenn der Sohn beschleunigt, arbeitet der Sohn am Zug und schiebt ihn (und alle Passagiere, einschließlich des Vaters) relativ zu einem anfänglich mitbewegten Trägheitsrahmen ganz leicht nach hinten. Das heißt, im Bahnhofsrahmen wird der Zug ganz leicht verlangsamt, um für den Gewinn des Sohnes an Schwung zu bezahlen.

Wir wissen, dass die Veränderung des Sohnes in Schwung ist$m_s v_s$. Der Impuls bleibt erhalten, daher muss die Impulsänderung des Zuges gleich und entgegengesetzt sein.$-m_s v_s$.

Die Masse des Sohnes ist viel geringer als die des Zuges. Wenn wir also das Gleichungssystem für den Impulsaustausch zwischen dem Sohn und dem Zug lösen (was wir als elastischen Stoß modellieren können ), stellen wir fest, dass die Beschleunigung des Zuges klein genug ist, dass wir behandeln kann$v_t$als ungefähr derselbe Wert vor und nach der Beschleunigung, solange wir uns daran erinnern, dass die Beschleunigung ein realer Wert ungleich Null ist. Konkret gehen wir davon aus, dass

$|(v_t + \Delta v_t)^2 - v_t^2| \gg |\Delta v_t|$

Wir haben jetzt alles, was wir brauchen, um die Arbeit des Sohnes im Zug zu finden, gemessen von einem Beobachter auf dem Bahnhof. Unter der Annahme konstanter Kräfte und Verwendung eines Minuszeichens, da die Kraft entgegen der Richtung der Geschwindigkeitsänderung des Sohnes ausgeübt wird:

$F = -m_s\Delta v_s / \Delta t = (m_s v_s)/\Delta t$

$\Delta s = v_t \Delta t$

$W = F \Delta s = -m_s v_s\Delta s/\Delta t = -m_s v_s v_t$

Das Extra$m_s v_s v_t$Term in der vom Beobachter am Bahnhof gemessenen kinetischen Energie des Sohnes ist die Arbeit, die der Sohn im Zug verrichtet hat, also der Betrag, um den die kinetische Energie des Zuges bei der Beschleunigung des Sohnes abgebaut wurde.

Im Rahmen des Vaters begann die kinetische Energie des Zuges also bei 0 und endete bei 0, und die kinetische Energie des Sohnes stieg um$0.5 m_s v_s^2$, also die gesamte kinetische Energie des Systems um erhöht$0.5 m_s v_s^2$während der Interaktion.

Im Bahnhofsrahmen begann die kinetische Energie des Zuges bei einem bestimmten Wert$0.5 m_t v_t ^2$und endete um$0.5 m_t (v_t + \Delta v_t)^2 = 0.5 m_t v_t ^2 - m_s v_s v_t$, also änderte es sich durch$-m_s v_s v_t$. Die kinetische Energie des Sohnes erhöhte sich um$0.5 m_s v_s^2 + m_s v_s v_t$. Damit erhöht sich die gesamte kinetische Energie des Systems um$0.5 m_s v_s^2$während der Interaktion.

Wie hft sagte , gilt die Regel für ein geschlossenes System. Hier ist eine Möglichkeit zu sehen, warum ein solches System eine unveränderliche Änderung der kinetischen Energie hat. Erstens die kinetische Energie$K$in jedem Rahmen hängt mit der kinetischen Energie zusammen$K_{\mathrm{in\ cm}}$im Schwerpunktrahmen um

$$K = K_{\mathrm{in\ cm}} + \tfrac{1}{2}M|\mathbf{v}_{\mathrm{of\ cm}}|^2 = K_{\mathrm{in\ cm}} + \frac{|\mathbf{P}|^2}{2M},$$ Wo$M$ist die Gesamtmasse,$\mathbf{v}_{\mathrm{of\ cm}}$ist die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts, und$\mathbf{P} = M\mathbf{v}_{\mathrm{of\ cm}}$ist der Gesamtimpuls. Da sowohl Gesamtmasse als auch Gesamtimpuls für ein geschlossenes System erhalten bleiben ($\Delta M = 0$Und$\Delta\mathbf{P} = \mathbf{0}$), es folgt dem $$\Delta K = \Delta K_{\mathrm{in\ cm}}.$$ Dies besagt, dass die Änderung der kinetischen Energie in jedem Inertialsystem gleich ist (gleich wie im Schwerpunktsystem).

Die Änderung der kinetischen Energie variiert von Rahmen zu Rahmen.

Stellen Sie sich in Ihrem Beispiel eine äußere Kraft vor, die auf den Sohn einwirkt. Wenn sich der Sohn nicht im Rahmen seines Vaters bewegt, ist die geleistete Arbeit 0, also$\Delta K$ist 0. Aber im Rahmen der Station führte diese Kraft zu einer gewissen Verschiebung ($v_t*\Delta t$).

Da die geleistete Arbeit von Rahmen zu Rahmen variiert, variiert nach dem Arbeits-Energie-Theorem auch die kinetische Energie.