Klarstellung zur Verdrängung in der Definition von Arbeit

Die Definition von Arbeit gibt uns eine Möglichkeit, die von einer Kraft entlang eines Pfades geleistete Arbeit zu berechnen, aber in der Praxis ist nicht immer klar, welcher Pfad zu berücksichtigen ist.

Das Linienintegral$\int\mathbf F\cdot \text d\mathbf x$folgt immer dem Angriffspunkt der Kraft.

Außerdem wird diese Tatsache, dass Arbeit entlang eines Weges definiert ist, bei der Anwendung des Energieerhaltungssatzes nicht berücksichtigt.

Dies liegt daran, dass wir normalerweise mit Energieerhaltung rechnen$\Delta K$Und$\Delta U$. Ersteres kann nur durch Geschwindigkeiten bestimmt werden, letzteres ist wegunabhängig. Seit$W_\text{ext}=\Delta K+\Delta U$, oder anders ausgedrückt$W_\text{net}=\Delta K$, müssen wir nicht unbedingt über Linienintegrale nachdenken, um die in vielen Kontexten geleistete Arbeit zu betrachten. Dies ist tatsächlich einer der Vorteile der Berücksichtigung von Energie.

Ich möchte ein Beispiel geben, um meine Position klarer zu machen. Es gibt ein Kugelrollen des reinen Abrollens eines Abhangs (v=wR) mit Reibung. Mir wurde gesagt, dass in diesem Fall Reibung nicht funktioniert, da sich der Ball (das Objekt, auf das Reibung ausgeübt wird) zwar bewegt, der Kontaktpunkt, an dem Reibung ausgeübt wird, sich jedoch nicht relativ zur Neigung bewegt.

Ja das ist korrekt. Der Berührungspunkt mit dem Hang ist beim Rollen ohne Rutschen immer augenblicklich relativ zum Hang in Ruhe. Daher wird im Ruhesystem der Böschung nicht gearbeitet.

Selbst wenn Sie die Reibungskraft als Arbeit behandeln wollten, werden Sie feststellen, dass ... sie keine Arbeit leistet. Wenn die Kugel Radius$R$rollt eine Strecke$x$die Steigung hinunter, dann die Reibungskraft$F$funktioniert$-Fx$mit der translatorischen Verschiebung und$FR\Delta\theta=FR\cdot(x/R)=Fx$mit der Drehbewegung. Dies ergibt immer noch eine Gesamtarbeit von$0$.

Außerdem wird diese Tatsache, dass Arbeit entlang eines Weges definiert ist, bei der Anwendung des Energieerhaltungssatzes nicht berücksichtigt. Könnte jemand diese Punkte klären?

Es ist nicht ganz klar, was Sie fragen, aber es scheint, dass Sie nach dem Unterschied zwischen der Arbeit einer konservativen Kraft fragen, die pfadunabhängig ist, und der Arbeit einer nicht konservativen Kraft wie Reibung, die pfadabhängig ist. Meine Antwort basiert also auf dieser Annahme. Wenn das nicht stimmt, lassen Sie es mich wissen und ich werde es entweder überarbeiten oder zurückziehen.

Mechanische Energie, dh die Summe aus potentieller Energie (PE) und kinetischer Energie (KE) auf makroskopischer Ebene, bleibt erhalten, wenn die Arbeit durch eine konservative Kraft wie Schwerkraft, elektrostatische und elastische Kräfte verrichtet wird, weil solche Arbeit ist unabhängig vom Weg.

Die Gesamtenergieerhaltung gilt jedoch immer noch für Arbeiten, die von nichtkonservativen Kräften wie kinetischer Reibung geleistet werden, wenn Sie die Änderung der kinetischen Energie auf mikroskopischer Ebene einbeziehen, dh atomare und molekulare kinetische Energie. Die negative Arbeit, die durch kinetische Reibung geleistet wird, wandelt makroskopisches KE (Verlust von KE des sich bewegenden Objekts) in mikroskopisches KE (Zunahme des molekularen KE, dh Zunahme des inneren KE des Materials an den Reibflächen) um.

Beim reinen Abrollen einer Kugel mit Reibung wirkt die Haftreibung bekanntlich nicht. Aber es ermöglicht der Kugel, ohne zu rutschen, zu rollen, so dass die Arbeit, die von der Komponente der Gravitationskraft geleistet wird, die den Block hinunter wirkt, was eine konservative Kraft ist, wandelt Gravitations-PE in eine Kombination aus Translations- und Rotations-KE um.

Ohne Reibung würde die Kugel ohne zu rollen den Abhang hinunterrutschen, so dass die GPE nur in Translations-KE umgewandelt wird. Es wird dann sozusagen das Äquivalent einer frei fallenden Kugel in einem reduzierten Gravitationsfeld von$g\sin\theta$Wo$\theta$ist der Neigungswinkel.

Hoffe das hilft.

Die Wirkung der Rollreibung besteht darin, die Nettokraft zu verringern:$F_{net} = mgsin(\theta) - F_{fric}$.

$$F_{net} = ma \implies mgsin(\theta) - F_{fric} = m\frac{dv}{dt}$$

Wenn kein Schlupf vorhanden ist, kann die Reibungskraft als Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung ausgedrückt werden

$$F_{fric} R = I\frac{d\omega}{dt} \implies F_{fric} = \frac{I}{R}\frac{d\omega}{dt}$$

Als$v = \omega R$, und beide Seiten mit dx multiplizieren

$$dw = mgsin(\theta)dx = m\frac{dv}{dt}dx + \frac{I}{R^2}\frac{dv}{dt}dx = (m + \frac{I}{R^2})\frac{dx}{dt}dv = (m + \frac{I}{R^2})vdv$$

$$vdv = \frac{1}{2}d(v^2) \implies dw = \frac{1}{2}(m + \frac{I}{R^2})d(v^2)$$

Die Arbeit der Schwerkraft führt zu einer Erhöhung der kinetischen Translationsenergie (erster Term) und der kinetischen Rotationsenergie (zweiter Term). Bei etwas Schlupf würde nur ein Teil des Drehmoments zu einer Winkelbeschleunigung führen

$$F_{fric} R - \Delta = I\frac{d\omega}{dt}$$ In diesem Fall der letzte Ausdruck$dw$wäre:$mgsin(\theta)dx - \Delta dx$, wobei letzteres die Arbeit der Reibungskraft ist. Ohne Schlupf führt die gesamte Arbeit der Gravitationskraft zu kinetischer Energie.