Klassifizieren von Regionen von Van der Waal wie Gas

Gegeben sei die Zustandsgleichung

(1) P + A ( N v ) = N k B T v − B N
Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass ein realistisches Modell erforderlich ist P ≥ 0 , v ≥ N B , N > 0 Klassifizieren Sie die Lösungen der Zustandsgleichung als Funktion der Temperatur.

Mein Versuch ist das

[ P + A ( N v ) ] [ v − B N v ] = N k B T v
Lassen N = N v ,

[ P + A N ] [ 1 − B N ] = N k B T

P + A N − P B N − A B N 2 = N k B T

Lassen N ~ = A B N , N ~ 2 = A B N 2 ,

N ~ 2 + ( P B A − A B ) N ~ − P + k B T A B = 0

Lassen P ~ = B A P ,

N ~ 2 + ( P ~ − A B ) N ~ − A B P + k B T A B = 0

Lassen T ~ = k B T A B ,

N ~ 2 + ( P ~ − A B ) N ~ − A B P + T ~ = 0

Jetzt ist die Diskriminante B 2 − 4 A C So

( P ~ − A B ) 2 + 4 A B P − 4 T ~

P ~ 2 − 2 A B P ~ + A B + 4 A B P − 4 T ~

( P ~ + A B ) 2 = 4 T ~

also ignorieren wir die negative Zeitlösung, die wir haben

P ~ = − A B + 2 T ~

aber ich sehe nicht, was ich als nächstes tun wollte.

Nachdem ich, dass ich zeigen muss, dass es eine Region der gibt T − v − 1 Ebene, in der diese Zustandsgleichung thermodynamisch nicht stabil ist, und bestimmen die Grenze dieses Bereichs.

Ich weiß, dass wir das für Stabilität brauchen

( ∂ P ∂ v ) T , N ≤ 0

aber ich sehe nicht, wie dies im aktuellen Kontext verwendbar ist.

Antworten (1)

Zunächst einmal können Sie direkt schreiben P als Funktion von v ohne eine quadratische Gleichung zu lösen:

P = N k B T v − N B − A N v

Dann werfen Sie einen Blick auf die interessanten Punkte

( ∂ P ∂ v ) T , N = 0

Die Lösungen dieser Gleichung sagen Ihnen, wo der Kompressionsmodul (oder sein Kehrwert, die Kompressibilität ) das Vorzeichen ändern könnte. Auf diese Weise können Sie dieses Kriterium verwenden, um die Grenzen instabiler Regionen zu bestimmen.

EDIT: Wenn ich mich nicht irre , hat die obige Gleichung Lösungen

ϑ ± = B 1 1 ± k B T A = B 1 1 ± T
,

mit ϑ = v / N und die reduzierte Temperatur T = T k B / A . In Bezug auf diese reduzierte Variable und v = ϑ / B wir können schreiben

( ∂ P ∂ ϑ ) T , N = A B 2 ( 1 v 2 − T ( v − 1 ) 2 ) ≤ ! 0

Sie kennen also die kritischen Punkte, an denen sich das Vorzeichen ändern könnte, und Sie kennen die Gleichung, um zu prüfen, welches Vorzeichen vorhanden ist. Sie müssen nur noch prüfen, welches Schild in welcher Region entlang der vorhanden ist ϑ Achse. Das ist nur noch Mathe zu tun.. Da Sie das Schild entlang kennen ϑ Achse kennen Sie automatisch das Zeichen entlang der ϑ − 1 Achse.

Könnten Sie bitte Ihren letzten Satz erweitern? (Ich kenne nur die Kompressibilität). Ich habe die zweite Gleichung gelöst, aber bekommen v = 2 A B N ± 4 k B T A B N 2 ( A − k B T )
Wie können wir das im T − v − 1 Ebene?
Woher wussten Sie, dass der Vorzeichenwechsel das Kriterium dafür ist? Ich kann in meinen Notizen keine Erwähnung darüber finden
Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Gas, dessen Druck zunimmt, wenn Sie sein Volumen erweitern. Damit könnte man ein Perpetuum mobile bauen ;) Deshalb erwartet man, dass diese Ableitung negativ ist. Ich lasse Sie es ein wenig versuchen und meine Antwort etwas später erweitern, wenn es Ihnen nichts ausmacht. Ein Tipp: Es kann auch sinnvoll sein, sich Gedanken darüber zu machen, bis zu welcher Temperatur Ihre Lösung wirklich eine Lösung ist. Dadurch erhalten Sie eine kritische Temperatur. Normalerweise ist es einfacher, mit reduzierten Mengen zu arbeiten.
So ( ∂ P ∂ ϑ ) T , N ≤ 0 ⟺ ( 1 v 2 − T ( v − 1 ) 2 ) ≤ 0 ⟺ ( − 1 v + 1 v 2 ) ≤ T Also, wenn dies wahr ist, stabil, wenn nicht instabil. Ich kann jedoch nicht sehen, wie dies beide Teile beantwortet
Ich habe einige zusätzliche Kommentare hinzugefügt, aber es gibt nicht mehr viel zu sagen. Rechnen kannst du alleine, denke ich :P
Was ich Ihnen anbieten kann, ist zu überprüfen, ob Ihr Ergebnis korrekt ist :)
Ok werde ich so schnell wie möglich machen
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