Können musikalische Taktarten wirklich irrational sein?

Ich gebe dem noch eine Drehung:

Können musikalische Taktarten wirklich rational sein ?

Worauf ich antworten würde: nein, nicht wirklich . Rationalität ist ein mathematisches Konzept, das auf einer exakten, axiomatischen Vorstellung von Zahlen beruht. Natürlich verwendet jedes gewöhnliche Musikstück eine rationale Signatur, die durch ganze Zahlen auf Papier oder in der von Ihnen verwendeten DAW gegeben wird. Die Zeit wird in diesen Kompositionen konzeptionell auf rationale Weise aufgeteilt.

Aber ist die konzeptionelle Ebene wirklich das, was die Musik ist ? Ich wäre mir nicht sicher. Musik ist für den Hörer zunächst nur Schwankungen im Luftdruckfeld . Unsere Gehirne leisten eine bemerkenswerte Arbeit darin, dieses Durcheinander wieder zu zerlegen ... sie werden feststellen, dass es bestimmte individuelle Stimmen gibt. Sie werden wahrnehmen, dass diese Stimmen irgendwie synchronisiert sind, dass es einige Skalen der Wiederholung gibt usw. Wenn sie etwas über Musik wissen, können sie daraus normalerweise auch wieder erraten, welche Nummern auf dem Notenblatt der Komponist geschrieben hat.
Aber das ist kein ganz objektiver, reproduzierbarer Vorgang. Bei näherer Untersuchung werden Sie feststellen, dass jeder menschlichen Darbietung leichte Temposchwankungen etc. innewohnen. Und was noch überraschender sein mag, selbst ein rein elektronisches, „exakt“ sequenziertes Stück scheint solche Schwankungen zu haben, wenn es aus dem Audiomix analysiert wird, und zwar in einem viel kleineren Maßstab. Der Grund ist eigentlich mathematisch verwandt mit der quantenmechanischen Heisenberg-Unschärferelation ^† : Wann immer Sie Informationen in irgendeine Art von Wellen packen (seien es elektromagnetische Radiowellen oder akustische Schallwellen), müssen Sie einen Kompromiss zwischen Frequenzgenauigkeit und Zeitgenauigkeit eingehen . Genauer gesagt, Transienten in einem Signal mit einer Frequenzbandbreite f_U kann eine Zeitgenauigkeit von höchstens ≈ ¹ ⁄ _{f U} haben .

Das menschliche Gehör hat eine Bandbreite von <20 kHz. Signale in diesem Bereich haben prinzipiell eine zeitliche Sicherheit von höchstens 50 μs. Tatsächlich kann der Mensch die Signalzeit nur bis zu etwa 3 ms bestimmen ... aber unabhängig von den genauen Zahlen gibt es im Prinzip eine Grenze für die Genauigkeit. Daher kann es niemals möglich sein, ein Stück im ⁴ ⁄ ₄ - Takt objektiv von einem im ^4.00000001 ⁄ ₄ -Takt oder tatsächlich vom irrationalen ^{cosh(2.0634371)} ⁄ ₄ zu unterscheiden .

Warum können wir also immer noch sicher sein, dass ein bestimmtes Stück im ⁴ ⁄ ₄ - Takt ist und nicht im ^{cosh(2.0634371)} ⁄ ₄ ? Occams Rasiermesser . Das einfachste mögliche Modell, das – innerhalb der verfügbaren Genauigkeit – zu den beobachteten Daten passt, ist dasjenige, das uns dem Verständnis dessen, was vor sich geht, am nächsten bringt .

Nun gibt es ein interessantes Detail: Was meine ich mit „dem einfachsten möglichen Modell“? Einfachheit lässt sich nicht wirklich definieren, es ist für jeden Menschen anders, was einfach erscheint und was kompliziert erscheint. In der Informationstheorie gibt es eine Sache namens Kolmogorov-Komplexität . Es ist eine knifflige Größe, tatsächlich kann sie nicht berechnet werden – aber sie ist immer noch gut definiert und kann durch das kürzeste Programm, das jemand für eine bestimmte Herausforderung auf CodeGolf.StackExchange einsendet, anständig angenähert werden .

Beispielsweise hat ⁴ ⁄ ₄ eine Komplexität von höchstens drei Zeichen oder 24 Bit, während die Zahl 2.0634371 allein eine Komplexität von mindestens 30 Bit hat.

Aber es gibt Beispiele, die weniger eindeutig sind. Insbesondere gibt es einige irrationale Zahlen, deren Komplexität wir als eher gering betrachten sollten. Die Zahl π hat eine Komplexität von etwa einem Zeichen, während die rationale Zahl 3,1416 bereits mehr als 16 Bit Komplexität hat.

Daher würde ich argumentieren, dass ein Stück in ^π ⁄ ₄ als in ^π ⁄ _{4 Takt betrachtet werden} sollte , nicht in ³⁹²⁷ ⁄ ₅₀₀₀ .

Können musikalische Taktarten wirklich irrational sein?

Ja, das können sie , in jeder Hinsicht, dass das Konzept der Taktarten überhaupt Sinn machen kann.

^{† Diese Unsicherheitseffekte haben} <sub>physikalisch eigentlich wenig mit Quantenfluktuationen zu tun – sie sind nur mathematisch analog, aber die Physik ist nur klassische Mechanik. Theoretisch legt die Quantenmechanik eine noch grundlegendere Grenze dafür fest, wie genau wir Zeit messen können: Zeitunsicherheit mal Energieunsicherheit muss größer sein als die Planck-Konstante. (Dies kann als Grund angesehen werden, warum teilchenphysikalische Experimente so enorme Energien aufbringen müssen: Einige der Teilchen, die sie dort untersuchen, haben extrem kurze Lebensdauern, die nur durch die Berücksichtigung enormer Energieschwankungen aufgelöst werden können. ) Übertragen auf Musik ergibt sich eine Energieunsicherheit von mindestens der durchschnittlichen thermischen Energie, die Teilchen bei Körpertemperatur haben: Δ E

≥ k · Δ T = k · 37°C = k · 310 K ≈ 4,3×10 ^-21 J . Berechnet man daraus die Zeitunsicherheit, erhält man 1,5×10 ^-13 s . Nun, das ist eine Zeitskala, die wir tatsächlich mit High-Tech-Geräten (z. B. Femtosekundenlasern ) auflösen können, viel länger als die Planck-Zeit. Aber es ist immer noch viele Größenordnungen kleiner als die Zeitunsicherheit aufgrund klassischer Effekte, die ich oben diskutiert habe.</sub>

Dies ist so übertrieben, dass es für praktische Zwecke irrelevant ist. Die Wellenlänge des höchsten Tons, den Menschen hören können, beträgt etwa 16 mm. Das ist etwa 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 Mal länger als die Planck-Wellenlänge, dh die Strecke, die das Licht in einer Planck-Zeiteinheit zurücklegt.

Selbst unter Berücksichtigung der von aktuellen Computersystemen vorgenommenen Näherungen (z. B. die Darstellung von Zahlen mit einer Genauigkeit von "nur" etwa 16 Stellen) wären die sich anhäufenden Zeitfehler in einem Musikstück mit einer Dauer von einer Million Jahren kaum wahrnehmbar.

Tatsächlich sind die häufigste Verwendung von "irrationalen Taktarten" in der Musiktheorie überhaupt keine mathematisch irrationalen Zahlen - sie sind einfach Brüche mit Nennern, die keine Zweierpotenzen sind, zum Beispiel 4/3 (was bedeutet, dass die Länge eines Takts a ist Viertelnote - 3/3 - plus eine Note aus einer Triole von Achtelnoten.)

Er gibt nur an.

Es gibt ein paar Hauptgründe, warum das, was er beschreibt, keine Rolle spielt. Notenblätter sind in erster Linie eine Orientierungshilfe . Es ist nicht wirklich die Musik. Es wird immer erwartet, dass Sie Ihre eigenen Erfahrungen in die Noten einfließen lassen, bevor sie als Musik bezeichnet werden. Sie möchten also niemals eine exakte Transkription des schwarzen Toners auf der Seite wiedergeben. Es wäre keine Musik.

Lass uns darüber hinaus so tun, als würdest du ein solches Stück spielen wollen. Theoretisch können Sie das nicht, weil Sie die irrationalen Verhältnisse nicht richtig spielen können. Aber kannst du jedes Lied spielen? Es stellt sich heraus, dass Sie nach diesem Standard nicht können. Angenommen, Sie möchten eine Viertelnote mit 100 BPM spielen. Angenommen, Sie möchten ein A spielen. 100 BPM sind 0,6 Sekunden pro Viertelnote. Die Frequenz von A beträgt 440 Hz, also hätten Sie 264 Schwingungen in dieser Viertelnote. Lassen Sie uns danach ein B spielen. B ist 493,88 ... Hz. Äh o. Jetzt brauche ich 296.328... Schwingungen. Aber wenn ich genau dort aufhöre, bin ich eigentlich nicht am Ende eines Zyklus. Ich muss eine "Fensterfunktion" verwenden, um die Note zu stoppen, wenn ihre Amplitude nicht 0 ist. Dadurch wird eine unendliche Reihe von Obertönen freigesetzt. Es ist kein reines B mehr.

Wenn ich also versuche, mich an die in diesem Video dargelegten Standards zu halten, kann ich eine Viertelnote A mit 100 BPM spielen, aber ich kann keine Viertelnote von B spielen. Die festgelegten Standards sind einfach zu hoch, um ein H zuzulassen .

Gehen Sie also raus und spielen Sie echte Musik, indem Sie sich an den Noten orientieren. Planks Konstante, Avagadros Zahl und all die anderen nützlichen Zahlen in der Wissenschaft werden da sein, um Sie zu unterstützen.

Können musikalische Taktarten wirklich irrational sein?

Erwähnenswert ist, dass der Begriff „ irrationale Taktart“ „irrational“ in einem anderen Sinn verwendet als die normale mathematische Bedeutung. https://en.wikipedia.org/wiki/Time_signature#Irrational_meters .

Eine andere Sache ist, dass ich nicht glaube , dass es eine allgemein verständliche Art geben würde, Musik mit Standardnotation in einer Taktart zu notieren, die im normalen, mathematischen Sinne irrational wäre. Ich könnte mich da irren, aber für den Rest meiner Antwort werde ich über irrationale Zeitverhältnisse „im Allgemeinen“ sprechen.

"irrationale Zeiteinheiten können wegen der Planckschen Konstante nicht existieren"

Sie können „begrifflich“ existieren und in Zahlen dargestellt werden. Es kann sein, dass es für diese Zeit nicht möglich ist, etwas tatsächlich zu bewirken – darüber lasse ich die Physiker streiten!

.... daher können Musiktaktarten wie 2:sqrt2 in der realen Welt nicht perfekt ausgeführt werden

Ich halte diese Aussage aus zwei Gründen für irreführend.

Erstens: Selbst wenn unsere zeitliche Auflösung durch die Planck-Zeit begrenzt wäre, könnten wir immer noch Stücke perfekt spielen, deren Ereignislängen exakte Vielfache der Planck-Zeit wären.

Zweitens ist die zeitliche Auflösung in unserer tatsächlichen realen Welt auf alle möglichen Arten begrenzt, die nicht mit der Planck-Zeit zusammenhängen - daher wäre die Planck-Zeit in vielen (oder irgendwelchen?) realen Situationen nicht wirklich der begrenzende Faktor.

Bedeutet dies, dass immer dann, wenn ein Musikstück mit einer irrationalen Taktart mit elektronischen Mitteln oder einem Player Piano gespielt wird, das, was wirklich passiert, nur eine sehr gute rationale Annäherung an die Taktart ist? dh wenn die Signatur pi:1 wäre, dann wäre es wirklich so etwas wie 3927:1250 ?

Nun, es ist wahr, dass ein digitaler Computer eine irrationale Zahl mit einer rationalen Annäherung darstellen muss. Diese Annäherung könnte jedoch so genau wie nötig sein – sie könnte sogar viel genauer sein als die Auflösung der Planckschen Zeit!

Es ist falsch.

Die Planck-Zeit ist kein „Tick“ im Universum; Ereignisse werden nicht an Tick-Grenzen ausgerichtet. Vielmehr ist es die kleinste Dauer , die vor oder nach anderen Zeiten gemessen werden kann.

Wenn Sie die Zeit eines Ereignisses messen, besteht Unsicherheit hinsichtlich der genauen Messung. Die engste mögliche Messung (wenn der konjugierte Wert völlig unsicher ist) ist die Planck-Zeit.

Bei einem Musikstück von endlicher Länge zeichnen Sie also Ihre Noten und Takte mit unscharfen Linien , die eine gewisse Toleranz dafür haben. Sie können dann immer eine rationale Zahl wählen , sodass die benötigten Zeitpunkte, an denen Sie Ihre theoretischen Linien zeichnen, immer innerhalb der Toleranzen der gemessenen Linien liegen.

Als praktische Antwort: Mit vollständig computerisierter Musik (durch wahrscheinlich nicht in traditionellen DAWs, die versuchen, Sie vor "Fehlentscheidungen" wie dieser zu bewahren) können Sie auf Musik kommen, die technisch nicht irrational, aber so nah dran ist Das menschliche Ohr könnte den Unterschied sicherlich nicht erkennen (zB wenn Sie pi/4 wollten, könnte es Ihnen leicht 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510/4 geben). Ob Sie das möchten, überlasse ich Ihrer künstlerischen Vision.

Eine amüsante Frage.

Relevanter als die Plancksche Konstante ist, wie leftaroundabout erwähnt, die Heisenbergsche Unschärferelation: Man könnte ein Musikstück nie genau genug messen, um zu sagen, ob die Taktart irrational ist.

Es gibt auch ein mathematisches Problem. Selbst wenn wir uns in ein Traumuniversum bewegen, in dem Raum und Zeit unendlich teilbar sind, sind genaue Messungen möglich und wir leben ewig; Wir könnten immer noch nie sagen, ob ein Musikstück im π / 4-Takt war oder nur eine sehr enge rationale Annäherung daran.

Irrationale Zahlen kommen in der Musik anderswo vor: Intervalle. In einer gerade temperierten Tonleiter hat eine reine Quinte ein Frequenzverhältnis von 1,5. Die Wellenform einer perfekten Quinte wiederholt sich also alle 2 Wellenlängen der tieferen Note. In einer wohltemperierten Skala hätte das Intervall (in dem gerade erwähnten Traumuniversum) ein Verhältnis von 2^(7/12), was irrational ist. Seine Wellenform wird sich also niemals wiederholen. Es wird anfangen, der gerade temperierten perfekten Quinte sehr ähnlich zu sein, aber allmählich wird sich die Phase der beiden Noten verschieben. Es wird sich nie ganz wiederholen, aber es wird willkürlich nahe daran kommen.

Topo morto erwähnt irrationale Meter, was interessant und neu für mich war. Diese sind im mathematischen Sinne nicht irrational; Sie haben einfach keinen Nenner, der wie üblich eine Potenz von 2 ist. Obwohl ich Mathematiker bin, stört mich diese Terminologie nicht: Ich habe kein Bedürfnis, anderen Disziplinen mathematische Begriffsdefinitionen aufzuzwingen. Aber auch innerhalb der Mathematik können Begriffe in verschiedenen Kontexten oder von Autor zu Autor ganz unterschiedlich definiert werden.

Der Hinweis auf die „Plancksche Konstante“ wird nur eingefügt, um clever zu klingen und uns mit Wissenschaft zu blenden.

Experimentelle Komponisten scheinen nicht standardmäßige Taktarten zu verwenden, um Tempoverhältnisse anzuzeigen - so etwas, bei dem sich drei Quintolen-Achtel im alten Tempo zu einem doppelt punktierten Minimum im neuen Tempo addieren. Und ich übertreibe nur leicht!

Mein Gefühl ist das gleiche, als wenn CERN ein weiteres fundamentales Teilchen entdeckt – ja, Ihre Analyse mag der Erklärung der beobachteten Tatsachen nahe kommen, aber es MUSS einen einfacheren Weg geben, es zu beschreiben!

Im Allgemeinen versucht der Komponist, es dem Spieler leichter zu machen, es zu verstehen und zu spielen. Taktarten wie 3927/1250 würden sicherlich nicht in normaler Musik verwendet werden, weil

1. Es verkompliziert die Dinge unnötig
2. Es ist nicht nötig
3. Es macht es dem Spieler extrem schwer oder unmöglich zu spielen (daher wird eine elektrische Musiksoftware zum Spielen benötigt).

Schließlich muss der Nenner unabhängig vom Zähler der Taktart eine Potenz von 2 sein. Dies liegt daran, dass 1 eine Halbbreve darstellt, 2 ein Minimum darstellt, 4 ein Viertel darstellt, 8 ein Achtel darstellt, 16 ein Sechzehntel darstellt, usw.

Da experimentelle Musik sich manchmal dafür entscheidet, diese Regeln zu ignorieren, können sie einige dieser exotischen Taktarten enthalten, aber der ganze Zweck würde einfach in das Thema des Experimentierens passen. Sie würden jedoch alle eine elektronische Software verwenden. Obwohl irrationale Zeiteinheiten (für die extremen Experimentatoren) aufgrund der im Video erwähnten Plank-Konstante nicht existieren, könnte offensichtlich ein Experimentator ein Stück mit einer Annäherung an die irrationale Zahl entwickeln.

Es gibt Musik mit nicht ganzzahligen Zählern in Taktarten, aber sie sind einfach zu verstehen und leicht zu spielen.

Zum Beispiel diktiert die Taktart (4 1/2)/4 (natürlich ohne Klammern) Takte von vier Viertelnoten und dann eine Achtelnote. Ein Beispiel für ein Stück, das dies verwendet, ist Touch Piece für Klavier von Gardner Read.

Interessanterweise denkt niemand darüber nach, was die beiden Zahlen in einer Taktart bedeuten. Die zweite Note sagt uns, welche Note 1 Schlag ist. Die erste Zahl sagt uns, wie viele Beats in einem Takt sind. Somit sind die Metren 2:4, 2:8 2:16 alle gleich. Klar wäre auch 2:3 derselbe Meter, und schließlich ist sogar 2:Sqrt(2) derselbe Meter.

Wenn wir eine irrationale Taktart wünschen, muss die erste Zahl eine irrationale Zahl sein.

Machen wir nun ein Beispiel mit einer irrationalen Taktart: Sqrt(2):4, mit einem Tempo von 60bpm. Somit ist ein Balken Sqrt(2) Sekunden lang - was durchaus Sinn macht. Btw.: Plancks Konstante hat mit diesem Problem nichts zu tun.

Conclusio: Es gibt irrationale Taktarten.