Können wir bei einer elastischen Kollision zwischen den Nachteilen wählen? von Energie und Nachteile. von Schwung?

.... Uns wird gesagt, dass alle nachfolgenden Kollisionen zwischen den Kugeln und dem Boden elastisch sind . Wir werden gebeten, die maximale Höhe zu bestimmen, auf die die kleine Kugel beim Abprall steigen wird.

Das Problem erwähnt keine Radien, aber wenn wir den Radius jeder der Kugeln kennen würden, wäre es gültig, die Berechnung der Erhaltung des linearen Impulses insgesamt zu umgehen und eine einzige Energieerhaltung zu verwenden

Es ist ein Widerspruch, weil ein elastischer Stoß als ein Stoß definiert ist, bei dem sowohl KE als auch Impuls erhalten bleiben. Nur eine Gleichung reicht nicht aus, um das Ergebnis der Kollision zu definieren.

Die Kenntnis der Radien hilft übrigens nicht bei der Lösung eines solchen Problems, da die Kugeln normalerweise als gleichmäßig dicht angesehen werden und der Massenmittelpunkt mit dem Schwerpunkt und mit dem Angriffspunkt aller Vektoren zusammenfällt.

Wenn Sie die Formeln kennen, geben Sie einen beliebigen Wert ein und lösen Sie nach einem bestimmten Beispiel, es sei denn, Sie fragen nach einer allgemeinen Formel.

Da dies eine Hausaufgabe ist, darf Ihnen niemand mehr Details geben.

Bei einem elastischen Stoß zweier Körper bleiben sowohl Impuls als auch Energie erhalten. Sie können die Dinge vereinfachen, indem Sie diese Erhaltungssätze im Rahmen des Massenschwerpunkts berücksichtigen. Dort ist der Gesamtimpuls Null, daher hat ein Objekt den entgegengesetzten Impuls des anderen. Da die Energie das Quadrat des Impulses dividiert durch die doppelte Masse ist, bedeutet dies, dass die gesamte kinetische Energie proportional zum Quadrat des Impulses ist und diese daher vor und nach dem Stoß gleich sein muss. die Größe des Impulses sich also nicht ändern kann, können wir daraus schließen, dass nur eine Richtungsänderung des Impulses passieren kann. In einer eindimensionalen Umgebung wie in diesem Problem bedeutet dies, dass die Impulse beider Objekte nur das Vorzeichen ändern.

Unter Verwendung von sowohl Energie- als auch Impulserhaltung haben wir alle eindimensionalen Kollisionsprobleme auf eine bloße Trivialität reduziert: Transformieren Sie in das Koordinatensystem des Massenschwerpunkts, ändern Sie das Vorzeichen der Impulse und transformieren Sie dann zurück in das ursprüngliche Koordinatensystem. Für den Fall, dass eine der Massen viel größer als die andere Masse ist, ist das Schwerpunktsystem das Ruhesystem dieser Masse, was die Lösung des Problems noch einfacher macht.

Mal sehen, ob wir dieses Problem mit der oben abgeleiteten Methode lösen können. Hier müssen Sie bedenken, dass, wenn der Ball mit dem Boden kollidiert, das eine Kollision des großen Balls mit der Erde ist, Sie sollten den großen Ball dann offensichtlich zu der leichten Masse bringen. Auch wenn diese Kollision passiert, bewegt sich die kleine Kugel zunächst weiter in Richtung Boden und spürt nur einen Bruchteil später den Aufprall, da die große Kugel die Richtung geändert hat.

Wenn also der Ball mit der Geschwindigkeit v auf den Boden auftrifft, wird diese Geschwindigkeit das Vorzeichen umkehren, da wir im Ruhesystem der Erde arbeiten, das das relevante Massenzentrum für diese Kollision mit dem Boden ist. Aber dann passiert, dass die kleine Kugel, die sich noch mit der Geschwindigkeit v zum Boden bewegt, auf die große Kugel trifft, die sich mit der Geschwindigkeit v nach oben bewegt. Im Ruhesystem der großen Kugel bewegt sich die kleine Kugel also mit Geschwindigkeit auf sie zu 2 v. Da dieses Koordinatensystem in guter Näherung das relevante Schwerpunktsystem für den bevorstehenden Stoß ist, folgt daraus, dass nach dem Stoß die Geschwindigkeit relativ zur großen Kugel 2 v beträgt. Wenn wir dann das ursprüngliche Bild zurückverwandeln, sehen wir, dass die kleine Kugel nach der Kollision eine Geschwindigkeit von 3 v relativ zum Boden hat.

Das bedeutet, dass die kinetische Energie der kleinen Kugel nach dem Aufprall das 9-fache der vor dem Aufprall war, und das impliziert dann, dass sie die 9-fache Höhe erreicht, aus der sie fallen gelassen wurde.

Hinweis: Das Ergebnis hängt nicht von der Annahme ab, dass zwischen den beiden Kugeln eine kleine Lücke besteht

Einige Kommentatoren und einige andere Antworten behaupten fälschlicherweise, dass die hier gegebene Antwort falsch ist, da die Hyperphysics-Website behauptet, dass das Ergebnis anders sein wird, wenn keine kleine Lücke zwischen den Kugeln vorhanden ist. Abgesehen von der Tatsache, dass die Hyperphysics-Websites überhaupt keinen solchen Anspruch erheben, ist die offensichtliche Abhängigkeit von der Lücke ein Artefakt der Art und Weise, wie man mit den gleichzeitigen Kollisionen umgeht. Natürlich kann man argumentieren, dass die Dinge wirklich etwas anders sind, wenn die Kollision gleichzeitig stattfindet, aber alle getroffenen Annahmen sollten explizit gemacht werden, was sie nicht getan haben.

Einfach ausgedrückt, wenn die kleine Kugel bei einer Lücke von Null nicht so hoch steigt, was ist dann mit der Energie passiert, die in die kleine Kugel geflossen wäre, wenn die Lücke nicht da gewesen wäre? Die versteckten Annahmen führen also dazu, dass Energie in Form von Vibrationen in der großen Kugel dissipiert wird. Aber wie ich weiter unten zeigen werde, ist dies überhaupt nicht offensichtlich, Sie werden nicht zu diesem Schluss geführt, wenn Sie das Problem nur genauer analysieren.

Lassen Sie mich hier also erklären, warum der Spalt im Sinne dieses Problems keine Rolle spielt, bei dem wir von elastischen Stößen ausgehen, bei denen die beiden Kugeln sicherlich nicht miteinander verklebt sind. In dem Moment, in dem die untere Kugel mit dem Boden kollidiert, bewegt sich die obere Kugel zusammen mit dem Kontaktpunkt mit der Geschwindigkeit v auf den Boden zu, während der untere Teil der Kugel zum Stillstand gekommen ist. Die Kompression des Balls am Kontaktpunkt am Boden findet also zuerst statt, die Stoßwelle muss sich zum anderen Ende des Balls ausbreiten, bevor der Kontaktpunkt mit dem anderen Ball zum Stillstand kommt und der obere Ball zu komprimieren beginnt es dort. Wenn das passiert, wird der Kontaktpunkt mit der oberen Kugel mit der relativen Geschwindigkeit von 2 v in die Kugel hinein bewegt. Dies bedeutet, dass, wenn diese elastische Bewegung zurückprallt, diese relative Geschwindigkeit von 2 v das Vorzeichen umkehrt. Nach diesem Punkt verlangsamt sich der Kontaktpunkt und es entsteht eine Lücke zwischen der oberen Kugel (er ist nicht mit der unteren Kugel verklebt, sodass er sich wegbewegt). Wir kommen also wieder zum selben Ergebnis.

Natürlich kann man einwenden, dass eine genauere Behandlung der elastischen Bewegungen der Kugeln notwendig ist und dass die 2 v Relativgeschwindigkeit nicht genau ist. Man muss hier anmerken, dass die interne Bewegung der elastischen Kugeln der Prozess ist, bei dem kinetische Energie in Wärme umgewandelt wird, was eigentlich auf die Unmöglichkeit hindeutet, von Anfang an perfekte elastische Kollisionen zu haben.

Das Problem erwähnt keine Radien, aber wenn wir den Radius jeder Kugel kennen würden, wäre es möglich, Berechnungen zur Erhaltung des linearen Impulses insgesamt zu überspringen

Die akzeptierte Antwort hat Sie verwirrt:

Sie können die Dinge vereinfachen, indem Sie diese Erhaltungssätze im Rahmen des Massenschwerpunkts berücksichtigen. Dort ist der Gesamtimpuls Null, daher hat ein Objekt den entgegengesetzten Impuls des anderen.

Eine anschauliche Erklärung des Problems finden Sie bei Hyperphysik :

Wenn$m_B>m_b$ wenn Massen$m_B = m_b$

Das Ändern des Bezugsrahmens ist hier nutzlos und irreführend, da in diesem Fall der Lab-Rahmen mit dem Schwerpunktrahmen zusammenfällt . (die Bodenerde ist 10^24 mal größer als B). Im Link zeigen sie den interessanteren Fall, wenn der Bezugsrahmen der größeren Kugel B betrachtet wird.

Ein weiterer hervorzuhebender Aspekt ist, dass: - die beiden Kugeln B, b einander gar nicht erst berühren dürfen: „ ..Die zwei leicht getrennten Kugeln, die aus gleicher Höhe fallen gelassen werden, werden von einem Bodenbeobachter gesehen, wie sie sich mit Geschwindigkeit der Oberfläche nähern v... " Wenn der obere Ball den unteren Ball trifft, bevor er aufgesprungen ist, dann ist das Ergebnis nicht dasselbe.

Das Problem ist ganz einfach, wenn man die beiden getrennten elastischen Stöße betrachtet:

• B trifft auf den Boden und prallt mit (fast) gleicher Geschwindigkeit zurück -v
• B kollidiert mit entgegenkommendem b mit Geschwindigkeit +v und prallt mit Geschwindigkeit +2v in Bezug auf +v zurück

Ich habe fälschlicherweise angenommen, dass die untere Kugel vollständig anhalten und ihre gesamte kinetische Energie in die obere Kugel übertragen würde. Zwei Folgefragen: (1) Da M im Vergleich zu m so groß ist, sollte die zweite Kollision die Rückprallhöhe von M nicht wirklich beeinflussen, oder? (2) Wenn wir dieses Experiment mit zwei identischen Bällen durchgeführt haben, sollten beide nach dem "Aufprallen" auf die ursprüngliche Höhe zurückkehren? – Rationen

Das Verhältnis zwischen der Masse eines Basketballs und eines Tennisballs beträgt ungefähr 1:11, wenn M/m abnimmt, ist das Ergebnis immer anders:

• Wenn die beiden Kugeln die gleiche Masse haben, tauschen sie bei der zweiten Kollision ihre Geschwindigkeiten aus, die untere Kugel bleibt vollständig stehen, wie Sie sagen, erhält dann aber die Geschwindigkeit der oberen Kugel.

Daher prallt die obere Kugel bei -v und die untere Kugel bei +v ab und hat folglich eine dritte Kollision mit dem Boden, wo sie zum zweiten Mal bei ungefähr -v zurückprallt

Wenn wir den Radius jeder Kugel wüssten , wäre es möglich, die Berechnungen zur Erhaltung des linearen Impulses insgesamt zu überspringen und eine einzige Gleichung zur Erhaltung der Energie zu verwenden ...

Der Radius einer Kugel ist für den Ausgang einer Kollision immer unerheblich, entscheidend ist das Verhältnis der Massen. Zwei Gleichungen sind immer notwendig, um das Ergebnis eines Stoßes (m, M) zu bestimmen: wenn m = 1 und v = 10, KE = 50. Bei einem elastischen Stoß bleibt dieser Wert erhalten, aber es gibt viele Möglichkeiten, wie er es tun wird und das hängt von den Massen ab: 50 + 0, 25+25, 12,5+37,5 usw.

Dieser Link ist sehr nützlich und enthält einen Taschenrechner , mit dem jeder seine Berechnungen überprüfen, die Formeln lernen und alle Aussagen in dieser Antwort überprüfen kann.

Wenn h = 0,8 m,$M>>m : M/m =99$, und die Kugeln werden so getrennt, dass sie aufprallen, nachdem M zurückgeprallt ist und ungefähr seine Geschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung (v = 4 m/s) wiedererlangt hat, wird m mit einer Geschwindigkeit von 11,84 m/s zurückprallen und M wird mit a leicht fortfahren reduzierte Geschwindigkeit (v = 3,84 m/s). KE (800) ist erhalten (70+730) und auch Impuls (392 = 11,84+380,16)

,in dem von Dvij zitierten Fall:

eines Tennis+Basketballs M/m = 10 beträgt der Rückprall des Tennisballs nur 2,5 V (= 10,5 m/s).

Schließlich stoppt die untere Kugel nur dann tot, wenn M/m = 3 ist und m genau mit 8 m/s zurückprallt

Bottom Ball stoppt tot

Da OP noch kein klares Bild hat und eine falsche Antwort akzeptiert hat, muss klargestellt werden, dass, wenn sich der Ball berührt , wenn sie den Boden erreichen, es nur eine Kollision gibt und der Lab-Frame genau der CM-Frame ist

Unter der Annahme, dass beide Bälle von "perfekter" Härte (dh nicht verformbar) sind, würden wir sie dann einfach als ein einheitliches System behandeln und dann schlussfolgern, dass sie beide auf die ursprüngliche Höhe zurückprallen würden ?

No Gap Hardtop-Ball

Das Ergebnis des Aufpralls auf dem Boden hängt nicht nur vom Verhältnis der Massen ab, sondern auch von der Härte der Bälle und von der Zeit, die sie brauchen, um ihre ursprüngliche Form und Geschwindigkeit wiederzuerlangen: ein Golfball, auch für sich allein, ist es beim Aufprall auf eine Wand vollständig plattgedrückt, ist die obere Kugel hart, trifft sie leicht auf den Boden, ist sie weich, wird sie ebenfalls gequetscht. Abhängig von diesen Faktoren variiert die Endgeschwindigkeit von m zwischen v und 2 v.

Es ist unwahrscheinlich, dass die beiden Bälle jemals auf die gleiche Höhe zurückprallen.