Können wir durch Renormalisierungsmethoden eine nicht-Lorentzsche Metrik aus einer Lorentzschen Metrik erhalten?

Die Zeitkontur hat wirklich nichts mit Renormierung zu tun. Vielmehr ist es etwas, das Sie zu Beginn für den Zweck der Berechnung auswählen , die Sie durchführen möchten. Bei jeder Wahl der Zeitkontur ist die Renormierungstheorie ziemlich gleich. Was die Renormierung bewirkt (verstanden in Bezug auf die Kadanoff/Wilsonsche Renormierungsgruppe), ist die Erzeugung höherdimensionaler effektiver Operatoren in der Lagrange-Funktion. Das Hinzufügen von Operatoren zum Lagrange-Operator hat keine Auswirkung auf Ihre Wahl der Zeitkontur, um sie zu integrieren!

Der Grund für die Wahl der Zeitkontur ist etwas subtiler, und Sie haben wahrscheinlich nur die beiden häufigsten Spezialfälle gesehen. Die Auseinandersetzung mit dem allgemeinen Fall kann klären, was mit der Sache mit der imaginären Zeit los ist, selbst wenn Sie nie den allgemeinsten Fall verwenden. Die allgemeine Korrelationsfunktion (vereinfacht zu einem einzelnen Skalarfeld) kann geschrieben werden

wo die Zeitentwicklungsoperatoren$U(t_i,t_j)$kommen aus der Arbeit im Heisenberg (oder Interaktions-)Bild und$\rho$ist eine willkürliche Anfangsdichtematrix, die das System zum Anfangszeitpunkt beschreibt$t_0$. Dies ist alles Standardmaterial, ähnlich dem, was Sie in jedem QFT-Kurs sehen werden.

Hier kommt ein Trick (Teil 1): Sie können eine beliebige Dichtematrix schreiben als$\mathrm{e}^{-\beta H^M}$. Ganz allgemein.$H^M$ist nicht unbedingt der Hamilton-Operator Ihres Systems, aber wenn dies der Fall ist, haben Sie einen thermischen Gleichgewichtszustand bei der Temperatur$\beta^{-1}$. Jetzt der Trick (Teil 2): ​​Beachten Sie das$\mathrm{e}^{-\beta H^M} = \mathrm{e}^{-i (-i\beta) H^M} = U(t_0 - i\beta, t_0; H^M)$. Das ist nur ein Trick: imaginäre Zeitentwicklung mit "Hamiltonian"$H^M$gibt Ihnen eine Dichtematrix. Wenn$H^M = H$das ist nur ein thermischer Zustand. Wenn nicht, ist es nicht. Der allgemeine Formalismus kann mit der Echtzeitdynamik eines beliebigen Nichtgleichgewichtszustands fertig werden.

Schauen Sie sich jetzt Seite 107 von Stefanucci & van Leeuwen an. Ich reproduziere die relevante Abbildung unten (ich glaube, es ist fair, aber ich empfehle Ihnen wärmstens, das ganze Buch zu lesen, wenn Sie die Gelegenheit dazu haben):

Die erste Abbildung zeigt die allgemeine Situation, die ich beschrieben habe: Die Zeit, in der die Evolution beginnt$t_0$, läuft die reale Achse hinauf, um irgendwelche zu fangen$\phi(x,t)$Operatoren, die da sind, dann zurück nach unten$t_0$um die anfängliche Dichtematrix zu "treffen", die wir erstellen, indem wir uns entlang der imaginären Achse entwickeln$H^M$was sein kann oder nicht$H$.

Jetzt können wir Näherungen machen. Wenn Sie sich nur um die thermischen Gleichgewichtseigenschaften und nicht um die Nichtgleichgewichtszeitentwicklung kümmern, können Sie alle thermischen Korrelationen messen, indem Sie alle Zeiten zum Anfangszeitpunkt und nehmen$H^M=H$. Der Echtzeitteil der Kontur fällt zusammen und Sie haben nur noch die imaginäre Zeitkontur, die Sie kennen. Es ist nicht so sehr, dass die thermische Feldtheorie auf einer imaginären Zeitkontur definiert ist. Es ist nur das, was übrig bleibt, wenn Sie sich um nichts anderes kümmern.

Andererseits können Sie mit einem nicht interagierenden Zustand bei beginnen$t_0\to -\infty$und langsam (adiabatisch) eine Interaktion einschalten und beobachten, was passiert. Dies ergibt den zweiten Satz von Konturen (Abb. b), die als Schwinger-Keldysh-Konturen bekannt sind und häufig zur Untersuchung von Nichtgleichgewichtssituationen wie elektrischen Strömen in Nanostrukturen usw. verwendet werden.

Wenn Sie schließlich die Dichtematrix als Gleichgewichtsdichtematrix bei Nulltemperatur annehmen, können Sie das Gell-Mann-Low-Theorem verwenden, um die Rückwärtszeitkontur vollständig zu entfernen. Dadurch erhalten Sie die übliche Einweg-Echtzeitkontur, die Sie wahrscheinlich von gewöhnlicher QFT kennen (Abb. c). Dies funktioniert aufgrund eines Vakuumzustands$t\to -\infty$geht adiabatisch in einen Vakuumzustand über$t\to +\infty$. In einer Nicht-Gleichgewichtssituation kann man sich darauf nicht verlassen und braucht die volle Kontur.