Invarianz in Euklidischen und Minkowski-Räumen

Betrachten Sie Wicks Rotation vom Minkowski-Raum in den euklidischen Raum in QFT. Was ist der Zusammenhang zwischen Ö ( 4 ) -Invarianz im euklidischen Raum und Lorentz-Invarianz im Minkowski-Raum? Wenn wir eine Menge definieren, die ist Ö ( 4 ) -invariant im euklidischen Raum, ist es garantiert, dass es nach analytischer Fortsetzung zurück zum Minkowski-Raum Lorentz-invariant wird?

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Ja, du hast recht. Im Minkowski-Raum ( T , X , j , z ) , das Raum-Zeit-Intervall:

D S 2 = D T 2 − D X 2 − D j 2 − D z 2
Wenn wir definieren T = − ich τ , dann haben wir
D S 2 = − D τ 2 − D X 2 − D j 2 − D z 2 = − ( D τ 2 + D X 2 + D j 2 + D z 2 ) = − D S E 2
Wo D S E 2 bezeichnet das euklidische Intervall in 4 D Euklidischer Raum ( X , j , z , τ ) .

Wie Sie sehen können, einmal die Transformation zwischen T Und τ fixiert ist, können wir zwischen den beiden Darstellungen hin und her gehen, die unter Lorentz- bzw. Euklidischer Rotation unveränderlich sind.

Danke für Ihre Antwort. Bezieht sich das auch auf alle physikalischen Größen, zB invariant aufgebaut aus Feldern wie F μ v im QED? Beeinflusst nicht die Kompaktheit von O(4) und die Nichtkompaktheit der Lorentzgruppe die Schlussfolgerung?
Über die anderen Mengen brauchst du dir keine Gedanken zu machen. Wenn Sie die Umwandlung für die Zeit getan haben, dann natürlich Mengen mit bestimmten T -Abhängigkeit wird wohl eine andere sein τ -Abhängigkeit. Der Zweck der Wick-Rotation besteht darin, die Integrationen konvergieren zu lassen, und danach müssen wir wieder zum Normalen rotieren T , dh Ersetzen der τ -Abhängigkeit durch die entsprechende T -Abhängigkeit. Es gibt tatsächlich Fälle, in denen diese Methode versagt. Ich denke nicht, dass die Kompaktheit wichtig ist, da die Rotation nur eine Technik zur Durchführung funktionaler Integrationen ist
Mich interessiert nicht nur die Durchführung bestimmter Integrale, sondern die Formulierung der euklidischen Feldtheorie als Ganzes. In solchen Theorien gibt es bestimmte Größen, die O(4)-invariant sind. Sie hängen zum Beispiel mit topologischen Eigenschaften von Feldern und mit ihrem Verhalten im euklidischen Unendlichen zusammen. Die Topologie des euklidischen Raums und des Minkowski-Raums ist jedoch völlig unterschiedlich. Kann man sicher sein, dass diese O(4)-Invarianten Lorentz-Invarianten nach Wicks Rotation werden? Ich bin mir nicht sicher, ob zB eine gewundene Zahl im Minkowski-Raum noch Sinn macht.
math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=160&cpage=1 und motls.blogspot.sg/2005/02/wick-rotation.html , ich habe gerade diese Seite gefunden, der Autor, der früher ein SE-Benutzer war , hatte in seinem Blog eine nette Diskussion zum Thema Dochtrotation. Leider sind einige der Inhalte bisher außerhalb meiner Reichweite. hoffe das kann dir einen Anhaltspunkt geben

Drei der Winkel von der 4 -dimensionale Drehungen, S Ö ( 4 ) , werden imaginär und führen zu der Gruppe namens Lorentz-Gruppe . Die imaginären Winkel entsprechen einer Transformation, die als Schub bezeichnet wird, und die Winkel werden als Schnelligkeiten bezeichnet . Die Lorentz-Gruppe, zumindest der eigentliche orthochrone Teil davon, hat die Eigenschaft, in drei voneinander isolierte Bereiche zerlegt zu werden, die im Minkowski-Raum den Flächen at entsprechen τ = ( C T ) 2 − R 2 = 1 mit T > 0 , τ = 1 mit T < 0 , Und τ = − 1 . Das heißt, diese drei Hyperoberflächen können nicht durch einen kontinuierlichen Pfad erreicht werden, der durch Veränderung definiert ist 3 -d Rotationswinkel und Boosts.

Warten. Ist die Isolation dieser Regionen eine Eigenschaft der Gruppe oder eine Eigenschaft der Minkowski-Raumzeit? Ich glaube, ich kann mich irren, und das ist eine Eigenschaft des Raums, in dem die Gruppe agiert, nicht der Gruppe selbst.
Invarianz in Euklidischen und Minkowski-Räumen
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