Volumenelement d4k=dk0|k|2d|k|d(cosθ)dϕd4k=dk0|k|2d|k|d(cos⁡θ)dϕ\mathrm{d}^4k =\mathrm{d}k^0 \ ,|\mathbf{k}|^2\,\mathrm{d}|\mathbf{k}| \,\mathrm{d}(\cos\theta) \,\mathrm{d}\phi im Minkowski-Raum?

Ja ist es.

Die Volumenform auf jeder (Pseudo-)Riemannschen Mannigfaltigkeit$(M,g)$von Dimension$n$, Wo$g$die Metrik ist, wird in lokalen Koordinaten angegeben$(x^1, \dots, x^n)$

$$\sqrt{|\det (g_{\mu\nu})|}dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n$$ Wo $\det(g_{\mu\nu})$ist die Determinante der Metrik in diesen Koordinaten. In kartesischen Koordinaten ist die Determinante der euklidischen Metrik $+1$warum die Determinante der Minkowski-Metrik ist $-1$. Der Absolutwert im Quadratwurzelfaktor der Volumenform beseitigt jedoch den Vorzeichenunterschied, sodass die Volumenformen gleich sind.

NOTIZ. Die Notationskonvention in der Physik ist

$$d^n x = dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n$$ Siehe zum Beispiel Carrolls Spacetime and Geometry eq. 2,95. Die Antwort auf Ihre Frage lautet also aufgrund der Notationskonvention wirklich "Ja", aber dann stellt sich die Frage: "Warum sollte man verwenden $d^nx$als Volumenform sowohl für den Minkowski-Raum als auch für den euklidischen Raum?", dessen Antwort oben gegeben wird.