Könnten wir ohne Kenntnis der Allgemeinen Relativitätstheorie einen Menschen in einer Rakete sicher zum Mond schicken?

Das Problem mit der Orbitalmechanik ist, dass sie schnell äußerst kompliziert und schwer intuitiv zu verstehen ist. Ich denke jedoch, dass es einen ziemlich einfachen Weg gibt, um zu zeigen, wie wenig Einfluss GR auf eine Erde-Mond-Transferbahn hat. Aber das erfordert ein wenig Vorbereitung, also haben Sie etwas Geduld, während ich eine kurze Einführung gebe.

Ich hoffe, dass jeder, der diese Seite liest, weiß, dass die potenzielle Energie der Gravitation durch das Newtonsche Gesetz gegeben ist:

$$V(r) = -\frac{GMm}{r}$$

Die potentielle Gravitationsenergie ist auf die anziehende Gravitationskraft zurückzuführen, aber für ein umlaufendes Objekt gibt es auch eine (fiktive) Zentrifugalkraft, die es nach außen drückt. Wenn wir die potentielle Energie aufgrund der Zentrifugalkraft berechnen und zur potentiellen Gravitationsenergie addieren, erhalten wir eine effektive potentielle Energie:

$$V_{eff}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2} \tag{1}$$

wo$L$ist der Drehimpuls, der für ein umlaufendes Objekt eine Konstante ist (weil der Drehimpuls in einem zentralen Feld erhalten bleibt). Wenn wir rechnen$V_{eff}$für ein Objekt in einer Erde-Mond-Transferbahn erhalten wir einen Graphen wie diesen:

Die stabile kreisförmige Umlaufbahn liegt am Minimum des Potentials, dh bei etwa 384.400 km, was beruhigend ist, da dies die Erde-Mond-Entfernung ist. So weit, ist es gut.

Aber wenn wir die Auswirkungen der Allgemeinen Relativitätstheorie einbeziehen, stellen wir fest, dass sie die Gleichung für das effektive Potential modifiziert. Die Details sind im Wikipedia-Artikel über Schwarzschild-Geodäten angegeben , aber lassen Sie uns die Details überspringen und geben Sie einfach die Gleichung für an$V_{eff}$einschließlich relativistischer Effekte:

$$V_{eff}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GML^2}{c^2mr^3} \tag{2}$$

Das Einbeziehen relativistischer Effekte fügt also nur einen dritten Term hinzu$r^{-3}$.

Jetzt berechnen wir die Position der stabilen Umlaufbahn, indem wir das Minimum von finden$V_{eff}$dh wir rechnen$dV/dr$, setzen Sie es auf Null und lösen Sie die resultierende Gleichung für$r$. Wenn wir dies für das Newtonsche Potential (1) tun, erhalten wir:

$$r = \frac{L^2}{GMm^2} \tag{3}$$

Das Finden des Minimums des relativistischen Ausdrucks (2) ist etwas komplizierter, da wir am Ende eine quadratische zu lösen haben, aber etwas herumfummeln endet mit:

$$r = \frac{L^2}{2GMm^2} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{12G^2M^2m^2}{L^2c^2}} \right)$$

und wir können die Quadratwurzel mit dem Binomialsatz annähern, um zu erhalten:

$$\begin{align} r &\approx \frac{L^2}{2GMm^2} \left( 1 + 1 - \frac{6G^2M^2m^2}{L^2c^2} \right) \\ &\approx \frac{L^2}{GMm^2} - \frac{3GM}{c^2} \tag{4} \end{align}$$

Und wenn wir unsere berechneten Newtonschen (3) und relativistischen (4) Entfernungen vergleichen, stellen wir fest, dass der Unterschied zwischen ihnen ist:

$$\Delta r \approx \frac{3GM}{c^2} \approx 1.3 \text{cm}$$

Das ist also, wie viel Unterschied einschließlich der Allgemeinen Relativitätstheorie zur berechneten Erde-Mond-Transferbahn ausmacht - etwa 1,3 cm!

Das Jet Propulsion Laboratory hat seit Mitte bis Ende der 1960er Jahre allgemeine relativistische Effekte in seine numerische Integration der Planeten einbezogen. Die JPL DE19-Ephemeriden, die 1967 veröffentlicht wurden, haben beispielsweise relativistische Effekte in ihre Modellierung des Sonnensystems aufgenommen.

Das hat nicht viel geholfen. Hätten sie relativistische Effekte ignoriert, wäre die Wirkung gering gewesen. Fehler in diesen älteren JPL-Ephemeriden häuften sich schnell und degradierten in nur wenigen Jahren zur Nutzlosigkeit. Die meisten dieser Fehler waren auf extrem lausige Rechenleistung (Ihr Laptop / Heimcomputer ist viel leistungsfähiger als der größte Supercomputer der 1960er) und ziemlich lausige Messungen (das JPL Deep Space Network steckte noch in den Kinderschuhen) zurückzuführen.

Andere Teile der NASA, einschließlich anderer Teile des JPL, haben keine relativistischen Effekte in die Ausbreitung ihrer Raumfahrzeuge integriert. Es hatte wenig Sinn. In den 1960er Jahren war das NASA-Modell des Gravitationsfeldes der Erde ein 4x4-Modell der sphärischen Harmonischen und das des Mondes ein einfaches sphärisches Gravitationsmodell. (Vergleichen Sie das mit dem 2159 x 2159 EGM2008 Erdgravitationsmodell und dem 900 x 900 GRGM900C Mondgravitationsmodell.) Die durch diese bekannten Einschränkungen verursachten Fehler stellen den Fehler in den Schatten, da diese winzigen relativistischen Effekte nicht modelliert werden.

Im Jahr 1968 war die NASA ziemlich schockiert über die 2-Kilometer-Fehler, die sie in ihren Mondsonden und im Flug von Apollo 8 im Jahr 1968 sahen. Das war etwas, was die NASA verfolgte. Es stellt sich heraus, dass die nahe Seite des Mondes fünf große Massenkonzentrationen aufweist, die dieses einfache kugelförmige Gravitationsmodell zum Gespött machen. Dieses Problem war es wert, behoben zu werden.

Relativistische Effekte nicht modellieren? In vielen Fällen lohnt es sich immer noch nicht, das zu korrigieren. Bis vor kurzem war ich der Schlüsselarchitekt eines Großteils der orbitalen Mechanik-Software, die am NASA Johnson Space Center verwendet wird. Ich bat auf jährlicher Basis darum, relativistische Effekte zu unseren Gravitationsberechnungen hinzufügen zu können. Dieser Antrag wurde jedes Jahr abgelehnt. Ich habe gefragt, weil ich es einfügen wollte, nicht weil es für die Modellierung des Verhaltens von Raumfahrzeugen wichtig ist.

Die Allgemeine Relativitätstheorie hat einen winzigen, winzigen Effekt auf Raumfahrzeuge. Sie sind nicht lange genug auf den Beinen, um die Fehler zu sehen, die aus der Ignorierung dieser Effekte resultieren, um zu wachsen. Das Ignorieren relativistischer Effekte führt zu einem winzigen, winzigen Fehler im propagierten Zustand, der von anderen Fehlern vollständig überschwemmt wird. Im Fall eines Fahrzeugs in einer niedrigen Erdumlaufbahn sind die Unsicherheiten in der oberen Erdatmosphäre beispielsweise enorm. Eine kleine Sonneneruption genügt, um die obere Atmosphäre der Erde wie einen Ballon anschwellen zu lassen. Es hat keinen Sinn, relativistische Effekte zu modellieren, wenn der Luftwiderstand um mehrere Größenordnungen höher ist und Sie das Glück haben, den Luftwiderstand auf zwei Genauigkeitsstellen zu kennen.

Im Falle eines Fahrzeugs, das zum Mond oder zu einem anderen Planeten fliegt, überschwemmen die Fehler in den Führungs-, Navigations- und Kontrollsystemen erneut die Auswirkungen der Ignorierung der Relativitätstheorie. Diese Fehler müssen zusammen mit anderen korrigiert werden, damit das Raumfahrzeug das Ziel nicht verfehlt. Jedes Raumschiff, das zu einem anderen Körper des Sonnensystems fliegt, muss unterwegs mindestens eine Kurskorrektur vornehmen. Im schlimmsten Fall bedeutet das Ignorieren relativistischer Effekte lediglich, ein kleines bisschen zusätzlichen Treibstoff für diese Kurskorrekturen mitzubringen.

Ein paar Plausibilitätsprüfungen, ohne tatsächlich etwas zu berechnen:

Erstens ist der Fehler aufgrund der Vernachlässigung der Allgemeinen Relativitätstheorie so gering, dass er die Vorhersage von Mondfinsternissen nicht beeinflusste und nirgendwo bemerkt wurde, außer in der Umlaufbahn von Merkur (zumindest nicht, bis sie eigens Experimente zur Erkennung kleinerer Diskrepanzen anstellten). Ich weiß, dass dies keine vollständig zufriedenstellende Antwort ist, aber der Mond und unsere Raketen folgen denselben physikalischen Gesetzen, und wenn die Kepler-Mechanik gut genug für den Mond ist, ist sie gut genug für die Rakete.

Zweitens war die Präzision der Raketenschubkraft und -dauer, insbesondere vor einem halben Jahrhundert, begrenzt. Präzisionen in der Rohmaschinentechnik (als die sich eine Festbrennstoff verbrennende Rakete definitiv qualifiziert) liegen optimistisch um drei Dezimalstellen, was viel schlechter ist als die Präzision, für die die Newtonsche Dynamik experimentell verifiziert wurde.

Drittens werden während des Flugs Kursanpassungen vorgenommen, um die Flugbahn zu korrigieren und am richtigen Zielort anzukommen. Wir verlassen uns also nicht auf einen extrem präzisen Start, um die Anhäufung von Fehlern zu eliminieren.

Kurz gesagt, die Auswirkungen der Allgemeinen Relativitätstheorie werden vollständig überschattet von Unvollkommenheiten von Hartmetallmaschinen, schlecht gemessenen Kraftstoffmengen, Kraftstoffverunreinigungen, Verbrennungsunregelmäßigkeiten, Turbulenzen und allgemeiner Aerodynamik in der Atmosphäre während des Starts, ungenau bestimmtem Nutzlastgewicht, Vogelkot auf der Windschutzscheibe und so weiter an. Da wir mit Steampunk -Technologie auf dem Mond angekommen sind, kann die Allgemeine Relativitätstheorie für die Raumfahrt getrost ignoriert werden, zumindest wenn Sie weit genug von einem Stern entfernt sind.

Das heißt natürlich nicht, dass sich die Allgemeine Relativitätstheorie nicht auch anderswo bemerkbar macht. Das GPS ist definitiv davon betroffen, und unsere Zeitmessung ist auch genau genug, um einen Zeitunterschied zu erkennen, wenn Sie auf einen Berg steigen und wieder herunterkommen.

Ich werde den Stein ins Rollen bringen. Mein GR-Wissen ist wahrscheinlich nicht gut genug, um dies zu einer wirklich zufriedenstellenden Antwort zu machen ...

Die Gravitationsbeschleunigung für ein Objekt, das sich radial mit nichtrelativistischen Geschwindigkeiten in der Schwarzschild-Metrik bewegt, wird durch einen Faktor modifiziert$(1 - r_s/r)(3[1-r_s/r] -2)$, wo$r_s = 2GM/c^2 = 0.00885 m$für die Erde.

Wenn wir eine erdnahe Umlaufbahn von einigen hundert Kilometern nehmen, ist der Faktor$0.999999995$. Denn irgendwo zwischen Erde und Mond ist es$0.9999999998$.

Wenn Sie also etwas Dummes tun, z. B. eine einheitliche Beschleunigungsgleichung für 3 Tage verwenden, ergibt sich die (radiale) Positionsungenauigkeit, die sich aus den Gravitationsfeldzeiten ergibt$t^2$multipliziert mit den obigen Faktoren. Ich denke, der zweite Faktor ist realistischer, da die meiste Zeit zwischen Erde und Mond verbracht wurde. Das Gravitationsfeld liegt hier in der Größenordnung von 0,02 m/s$^2$, was nach einem 3-tägigen Flug einen Positionsfehler von 0,3 Metern oder etwas größer ergibt, wenn mehr Zeit in einem stärkeren Gravitationsfeld verbracht wird.

Ich denke, wir können tangential eine Größenordnungsberechnung durchführen, indem wir die Schwarzschild-Metrik-Zeitdilatation für die Erde auf der Umlaufbahn des Mondes verwenden. Nach erster Ordnung läuft eine Uhr auf dem Mond um eine Rate schneller als eine auf der Erdoberfläche$(1- r_s/r)^{-1/2}$, wo$r \sim 6,400\ km$. Multipliziert man dies mit 3 Tagen, ergibt sich ein zeitlicher Fehler von 0,2 Millisekunden, in welcher Zeit sich der Mond (gegenüber der Erde) um etwa 0,2 Meter bewegt hat.

Diese außerordentlich grobe Berechnung scheint also darauf hinzudeuten, dass GR hier kein Grund zur Sorge ist. Aber ich bin sicher, jemand kann eine genauere Arbeit leisten. Auf jeden Fall halte ich die Prämisse der Frage nicht für richtig, da während der Apollo-Flüge (mehrmals) Flugkorrekturen während des Transports und im Orbit durchgeführt werden konnten und wurden.

Bedenken Sie, dass es nicht besonders schwierig wäre, eine Apollo-ähnliche Landung durchzuführen, wenn jede Ihrer relativen Geschwindigkeits-, Entfernungs- und Winkelmessungen um +/- 5 % abweichen würde.

Sie könnten unterwegs einfach kleine iterative Korrekturen vornehmen, bis die absoluten Werte klein genug sind, um die relativen Fehler unbedeutend zu machen. Im schlimmsten Fall müssten Sie etwas mehr Sicherheitsmarge beim Kraftstoff mitführen.

Absolut, das könnten wir, und tatsächlich vermute ich stark, dass die Allgemeine Relativitätstheorie nie im Apollo-Programm verwendet wurde. Zum einen waren die Bordnavigationscomputer bei weitem nicht leistungsfähig genug, um sinnvolle Berechnungen mit GR durchzuführen.

Andererseits ist es möglich, die Position des Mondes auf wenige Zentimeter genau zu messen (viel genauer als nötig, um ein Raumschiff sicher dorthin zu bringen), und es ist sicherlich notwendig, GR zu verwenden, um diese Daten genau zu modellieren.