Konservative Vektorfelder

Mir wurde immer gesagt, um herauszufinden, ob ein Feld konservativ ist oder nicht, schaue, ob der Curl null ist.

Dies ist fast immer wahr, aber nicht immer wahr.

Mir wurde jetzt gesagt, dass, nur weil die Wellung null ist, nicht unbedingt bedeutet, dass sie konservativ ist.

Richtig!

Um zu veranschaulichen, was vor sich geht, machen wir ein Beispiel. Betrachten Sie das folgende Vektorfeld:

$$\vec{v}(x,y)=\frac{-y\hat{x}+x\hat{y}}{x^2+y^2}.$$ Beachten Sie, dass $\vec{v}$ist am Ursprung nicht definiert. Ist $\vec{v}$konservativ? Lassen Sie uns "konservativ" wie folgt definieren

Ein Vektorfeld$\vec{v}$ist konservativ, wenn für jeden geschlossenen Pfad$C$, das Integral$\int_C \vec{v}\dot\,d\vec{l}=0.$

Betrachten Sie den Pfad parametrisiert als$x(t)=r\cos(2\pi t)$Und$y(t)=r\sin(2 \pi t)$für$t$von 0 nach 1 gehen. Dieser Pfad ist nur ein Kreis mit Radius$r$auf den Ursprung zentriert. Die Verschiebung auf dem Weg ist

$$\frac{d\vec{l}}{dt} = 2\pi r \left( - \hat{x}\sin(2\pi t) + \hat{y}\cos(2\pi t) \right).$$

Wenn wir unser Beispiel integrieren$\vec{v}$Auf diesem Weg kommen wir

$$\begin{align} \int_C \vec{v}\cdot d\vec{l} &=\int_{t=0}^1 \left( \frac{-y\hat{x}+x\hat{y}}{x^2 + y^2} \right) \cdot (2\pi r) \left( -\hat{x}\sin(2\pi t) + \hat{y}\cos(2\pi t) \right)\,dt\\ &= 2\pi \end{align}$$ was das zeigt $\vec{v}$ist definitiv nicht konservativ. Beachten Sie, dass das Integral nicht vom Radius abhängt $r$des Weges.

Nun berechnen wir die Locke von$\vec{v}$. Definieren Sie der Einfachheit halber$r\equiv x^2 + y^2$, dh$r$ist die radiale Polarkoordinate.

$$\begin{align} \nabla \times \vec{v} &\equiv \frac{d\vec{v}_y}{dx} - \frac{d\vec{v}_x}{dy}\\ &=\frac{r^2 - 2 x^2}{r^4} - \frac{-r^2 + 2 y^2}{r^4} \\ &= \frac{2r^2 - 2r^2}{r^4}\\ &= 0. \end{align}$$ Das haben wir jetzt gezeigt $\vec{v}$hat null curl. Eine Folge davon ist, dass wir uns integrieren würden $\vec{v}$entlang eines kleinen Pfades um einen Punkt herum, wo $\vec{v}$definiert ist, erhalten wir garantiert Null.

Daher,$\vec{v}$hat keine Kräuselung, ist aber nicht konservativ. Was ist los?

Wenn Sie sich vorstellen$\vec{v}$Sie werden sehen, dass es sich um einen Wirbel aus Vektorlinien handelt, die den Ursprung umkreisen. Die Stärke der Linien nimmt ab, wenn Sie sich vom Ursprung entfernen. Diese Abnahme ist genau richtig, so dass Sie Null erhalten, wenn Sie um eine kleine Schleife herum integrieren, die den Ursprung nicht umgibt (dh wenn Sie die Kräuselung überprüfen). Wenn Sie jedoch entlang einer Schleife integrieren, die den Ursprung umschließt, erhalten Sie aufgrund des globalen Kreisens um den Ursprung etwas Nicht-Null. Daher können Sie sich das Integral so vorstellen, dass Sie entweder die Anwesenheit des Ursprungs "fühlen" und den aufheben$2\pi$Wir haben gerechnet oder den Ursprung nicht gefühlt und Null gegeben. Es ist, als wäre die Herkunft einen besonderen Punkt wert$2\pi$.

Das ist wirklich interessant! Unser Feld$\vec{v}$ist überall lokal konservativ , aber wenn Sie einen Pfad um den Ursprung herum machen, können Sie ein Integral ungleich Null erhalten, also$\vec{v}$ist weltweit nicht konservativ .

Denken Sie daran, dass wir darauf hingewiesen haben$\vec{v}$ist am Ursprung nicht definiert? Dies ist kein Unfall. Vektorfelder, die lokal, aber nicht global konservativ sind, müssen "Löcher" haben, an denen sie nicht definiert sind. Tatsächlich müssen sich diese Vektorfelder in der Nähe ihrer Löcher der Unendlichkeit nähern, was$\vec{v}$auf jeden Fall, wie Sie überprüfen können [1]. Diese unendlichen Punkte haben "Reste", die sich in Integralen zeigen, die sie umgeben. Für die Experten im Publikum ist dies genau derselbe Rückstand, den man erhält, wenn man um einen einfachen Pol herum in die komplexe Ebene integriert.

Kommen wir zurück zu Ihrer Frage

Um zu zeigen, dass dies konservativ ist, würde ich weitermachen und die Locke nehmen. Es wird Null sein - aber das ist kein endgültiger Beweis dafür, dass es konservativ ist? Wie würde ich zeigen, dass es ist?

Wie Sie gesagt haben und wir demonstriert haben, garantiert Null Curl nicht, dass ein Feld konservativ ist. Was garantiert , dass ein Feld konservativ ist, ist, dass Sie es als Gradient einer Skalarfunktion ausdrücken können. Allgemeiner mathematisch ausgedrückt, wenn es eine Funktion gibt$f$so dass$\nabla f = \vec{v}$, Dann$\vec{v}$soll genau sein . Ein exaktes Vektorfeld ist absolut 100%ig bis konservativ gewährleistet.

Eine Antwort auf Ihre Frage lautet also, dass das Zeigen eines Vektorfelds konservativ ist. Zeigen Sie einfach, dass es als Gradient einer Funktion geschrieben werden kann. Eine andere Antwort ist, berechnen Sie das allgemeine geschlossene Pfadintegral des Vektorfelds und zeigen Sie, dass es in allen Fällen identisch Null ist.

Machen wir aber weiter, denn das ist wirklich super interessantes Zeug.

Vektorfelder mit Null-Curl sind garantiert exakt, was bedeutet, dass Null-Curl Konservativität garantiert, es sei denn, das Vektorfeld hat Löcher (dh Punkte, an denen es nicht definiert ist). Das Mantra, das Sie gelernt haben, dass Zero Curl Konservativität anzeigt, ist fast immer wahr, aber es versagt bei Vektorfeldern mit Löchern, wie in unserem Beispiel$\vec{v}$tut am Ursprung.

Jetzt ist hier der wirklich erstaunliche Teil. Wenn ich Ihnen sage, dass ein Vektorfeld genau 1 Loch hat und dass es keine Kräuselung hat, aber nicht exakt ist, kann es möglicherweise nur ein Vektorfeld geben (bis zur Addition anderer exakter Vektorfelder). Mit anderen Worten, wenn ich Ihnen das sage, ein Vektorfeld$\vec{W}$keine Kräuselung hat, ein Loch hat und kein Gradient irgendeiner Funktion ist, dann wissen Sie das sicher$\vec{W}=\vec{v} + \vec{\lambda}$Wo$\vec{\lambda} = \nabla f$für einige$f$. Wenn Sie die gleiche Situation wiederholen, aber mit zwei Löchern, dann wissen Sie das$\vec{W}$ist ausdrückbar als eine lineare Kombination spezifischer kräuselloser, aber nicht exakter Vektorfelder, die den beiden Löchern zugeordnet sind. Dieses ganze Geschäft lässt sich auf hochdimensionale Räume verallgemeinern. Wenn es Ihnen gefällt, informieren Sie sich über Differentialformen. Sie können das Buch „Analysis on Manifolds“ von Munkres ausprobieren, obwohl das ein sehr „mathematisches“ Buch ist.

Eine letzte Sache. Anstatt davon zu sprechen, Null Curl zu haben und der Gradient einer Funktion zu sein, können Sie davon sprechen, Null Divergenz zu haben und die Curl eines anderen Vektorfelds zu sein. Wenn ein Vektorfeld keine Divergenz hat, können Sie es normalerweise als die Kräuselung von etwas anderem schreiben. Das elektrische Feld einer Punktladung ist konservativ und hat keine Divergenz. Es ist jedoch nicht die Kräuselung irgendeines Vektorfeldes. Tatsächlich ist es das einzige $^{[2]}$Vektorfeld in drei Dimensionen, das keine Divergenz hat und keine Kräuselung von etwas anderem ist. Und natürlich geht das elektrische Feld einer Punktladung am Ladepunkt ins Unendliche, also ist dies eines dieser Felder, wo ein "Loch" es erlaubt, die üblichen Regeln zu brechen. Woher wusste die Natur, dass das so ist?

[1] Der Zähler von$\vec{v}$geht wie$r$während der Nenner als geht$r^2$. Daher geht das Ganze so$1/r$die in der Nähe des Ursprungs divergiert.

[2] Dies ist eine etwas falsche Aussage, aber für den Moment ist sie in Ordnung.