Konstruktiver Beweis für stetige Funktionseigenschaft

Lassen$l := d(f(a), g(a))$; dann gibt es nach Stetigkeitsannahme$\delta_{1},\delta_{2} > 0$so dass$f(B^{a}(\delta_{1})) \subset B^{f(a)}(\frac{l}{3})$Und$g(B^{a}(\delta_{2})) \subset B^{g(a)}(\frac{l}{3})$, Wo$B^{x}(y)$ist die Kugel der Mitte$x$und Radius$y$; nehmen$A := B^{a}(\delta_{1}) \cap B^{a}(\delta_{2})$.

$B_h (p)$bezeichnet die offene Kugel mit Radius$h$zentriert bei$p$.

Lassen$\varepsilon = d(f(a), g(a) )$

Als$f$Und$g$sind kontinuierlich,$\exists \delta_1, \delta_2 >0$st

Lassen$\delta = \min (\delta_1, \delta_2 )$

Der Satz$B_\delta(a)$genügt.

Offensichtlich$d(f(a),g(a))>0$.

Jetzt finden$\delta>0$so dass$d(a,x)<\delta$impliziert, dass

Solch$\delta>0$existiert, weil$f$Und$g$sind beide stetig bei$a$.

Dann offene Kugel$B(a,\delta)$macht den Job.

Dies wegen der allgemeinen Ungleichheit

Folglich$f(x)\neq g(y)$.

Es ist einfacher, es direkt zu tun. Weil$f(a) \neq g(a)$, gibt es disjunkte offene Nachbarschaften$N_{f(a)}$Und$N_{g(a)}$von$f(a), g(a)$bzw.: wenn$d = |f(a) - g(a)|$, nehmen Sie jeweils eine offene Kugel mit Radius$d/2$an den jeweiligen Punkten zentriert. Weil$f, g$kontinuierlich sind, gibt es eine Nachbarschaft$U_f$von$a$so dass$f[U_f] \subseteq N_{f(a)}$, und ebenso gibt es eine Nachbarschaft$U_g$von$a$so dass$f[U_g] \subseteq N_{g(a)}$. Lassen$A = U_f \cap U_g$. Dann$A$hat die gewünschte Eigenschaft.