Kontinuierliche offene Karten

Wenn F : X → Y ist eine durchgehend offene karte dann so F : X → F ( X )

Mein Versuch:

Lassen U offen sein F ( X ) So U = U ' ∩ F ( X ) Wo U ' ist eine offene Teilmenge von Y . Dann F − 1 ( U ' ∩ F ( X ) ) = F − 1 ( U ' ) , die geöffnet ist X . Daher ist es stetig. Let U offen sein X . So F ( U ) ist geöffnet Y . Seit U ⊆ X , es folgt dem F ( U ) ⊆ F ( X ) und somit F ( U ) = F ( U ) ∩ F ( X ) , die geöffnet ist F ( X ) .

Ist mein Versuch richtig?

Ja, das ist richtig.

Antworten (1)

Sauberer ist es, eine separate Notation für die codomain-restricted zu verwenden F :

F ' : X → F [ X ]  definiert von  ∀ X ∈ X : F ' ( X ) = F ( X )

Und F [ X ] erbt die Topologie von Y .

Beide Teile Ihres (korrekten) Beweises können verkürzt werden, wenn Sie wissen, dass "offen in offen ist, offen ist" und dies gegeben ist F [ X ] nach Annahme offen ist, sagen wir einfach:

Wenn Ö ⊆ F [ X ] ist dann geöffnet Ö ist geöffnet Y und so F ' − 1 [ Ö ] = F − 1 [ Ö ] ist offen durch Stetigkeit von F . So F ' ist kontinuierlich.

Wenn Ö ⊆ X ist offen, F ' [ Ö ] = F [ Ö ] ist geöffnet Y und eine Teilmenge von F [ X ] also aufmachen F [ X ] zu. So F ' ist offen.

Zwei Sätze, mehr braucht es nicht.

Das ist sooo hilfreich. Danke, aber ich mache mir immer Sorgen, dass ich Details auslasse. Diese Art von Beweisen braucht Zeit, um zu versuchen, die Details richtig zu machen, daher gebe ich normalerweise so viel wie möglich für zukünftige Referenzen an. Aber wie Sie gezeigt haben, kann das Zusammenfassen von Dingen den gleichen Effekt haben. Also danke, ich werde versuchen, das so gut wie möglich zu tun.
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