Kraft zum Einsatz in harmonischer Schwingung durch das Innere eines Planeten

Ich soll eine Gleichung finden für die Zeit, die man braucht, wenn man durch einen Planeten auf die andere Seite fällt und zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Ich habe sieben verschiedene Sätze von Werten - Masse des fallenden Objekts, Masse des Planeten, Radius des Planeten und Zeit. Ich beziehe die Reibung nicht in die Berechnungen ein.

Ich denke, dies ist ein harmonischer Oszillator, und daher arbeite ich mit der Formel

T = 2 π M k

Um die Federkonstante zu finden k Ich brauche Kraft F , und da werde ich unsicher. Sollte ich mit der Gravitationskraft zwischen dem Objekt und dem Planeten arbeiten, wenn der Fall beginnt? Mit anderen Worten

F = G × M × M R 2

Wenn ich das versuche, finde ich das

F = k X ⟺ k = F X

⟺ k = G × M × M R 2 2 R = G × M × M 2 R 3

⇒ T = 2 π M G × M × M 2 R 3 ⟺ T = 2 π 2 R 3 G × M

Wenn ich diese Gleichung für die Werte verwende, die ich habe, erhalte ich jedoch die falschen Ergebnisse - T = 7148 anstatt T = 5055 . Was mache ich falsch?

Nebenbei hätten Sie die frühere Frage bearbeiten können, um deutlich zu machen, dass es sich nicht um ein Duplikat handelt, das dann für die Aufmerksamkeit des Moderators gekennzeichnet wurde. Wir versuchen, auf solche Dinge zu reagieren.
Das erste war wirklich ein Duplikat. Das Finden dieser ursprünglichen Frage half mir, die Lösung zu visualisieren, bei der ich später Hilfe brauchte (bei dieser Frage). Trotzdem danke.

Antworten (2)

Der Schlüssel zu diesem Problem ist die Tatsache, dass die Masse des Planeten M wie es im Newtonschen Gravitationsgesetz erscheint,

F = G M M R 2 ,
ist eigentlich nicht konstant. Dies liegt daran, dass die Schichten des Planeten, die sich über Ihnen befinden, eine Nettokraft von Null verursachen: Wenn Sie sich innerhalb einer hohlen Kugelhülle aus Masse befinden, üben diametral gegenüberliegende Elemente mit Raumwinkel gleiche Kräfte in entgegengesetzten Richtungen aus.

Somit ist die effektive Masse des Planeten in diesem Problem nur die einer Kugel mit Radius R und Dichte 3 M 0 / 4 π R 3 , dh M ( R ) = R 3 R 3 M 0 . Die Kraft ist dann

F = G M 0 M R 3 R
und es verursacht natürlich eine harmonische Bewegung mit "Federkonstante" k = G M 0 M / R 3 .

Wow, diese Lösung gibt mir genau die richtige Antwort. Danke schön. Ich bin mir immer noch nicht sicher, ob ich verstehe, was genau die Lösung tut, aber ich komme dorthin. Es geht jetzt nur noch darum, es sich mental vorzustellen... :)
@Quispiam Wenn Sie immer noch Probleme mit Konzepten haben , dann sind wir gescheitert. Der Zweck dieser Seite ist nicht, Ihre Hausaufgaben für Sie zu machen, sondern Ihnen zu helfen, die Physik dahinter zu verstehen (was keine schlechte Philosophie für Ihr ganzes Studium ist). Wenn Sie weitere, spezifische konzeptionelle Probleme haben, sollten Sie diese ansprechen, denn wenn Sie mit der richtigen Antwort, aber ohne tieferes Verständnis davongehen, ist dies dasselbe, als würden Sie mit nichts davongehen.
Ich verstehe mathematisch, wie Sie kommen M R = R 3 R 3 M 0 , aber ich kann nicht verstehen, warum dies getan wird. Warum wird die Dichte der Kugel mit dem Volumen des Planeten multipliziert und nicht mit dem Volumen der Kugel selbst?
@ChrisWhite Ich weiß. Ich möchte die Konzepte verstehen. Wenn ich mit der Lösung zufrieden gewesen wäre, hätte ich aufgeschrieben, was Emilio geschrieben hat, und wäre damit zufrieden gewesen. Ich bin nicht glücklich, bis ich verstehe, was passiert. Die mathematische Lösung ist nur einen Schritt näher zum Verständnis des Konzepts.
Das wichtige Konzept ist, dass die Masse über Ihnen nicht zur Anziehungskraft der Schwerkraft beiträgt, sodass Sie sich effektiv auf der Oberfläche eines Planeten mit kleinerem Radius befinden R die eine konstante Dichte hat ρ = M 0 / 4 π 3 R 3 für R der Radius des Planeten. So ist die Masse des "effektiven Planeten". 4 π 3 R 3 ρ . In Ihren Begriffen wird die Dichte des Planeten mit dem Volumen der Radiuskugel multipliziert R .
Ein guter Ort, um dies zu verstehen, ist ein Buch über Elektrostatik, seit dem Coulombschen Gesetz F = k Q Q / R 2 ist formal identisch mit Newtons. Mein persönlicher Favorit ist Purcell, das gute und klare Erklärungen zu diesen Themen hat.

Der Zeitraum ist in der Tat T = 2 π M / k , Wenn k ist die Proportionalitätskonstante zwischen Verschiebung und Kraft, wie in Ihrer dritten Gleichung. So weit, ist es gut. Nun, warum hast du ersetzt X mit 2 R ? X ist die Abweichung vom Gleichgewicht, bei der Sie bewertet haben F .

Es gibt zwei Möglichkeiten zu gehen. Sagen Sie entweder verlassen X unbekannt und auswerten F in Bezug auf it, oder wählen Sie einen Wert für X und finden Sie die Kraft in diesem speziellen Fall. Beide Methoden sollten übereinstimmen. Im ersten Fall wissen Sie, dass Sie einen einfachen harmonischen Oszillator haben X -Abhängigkeit fällt aus, wenn Sie finden k = F / X . Wenn Sie sich für Letzteres entscheiden, denken Sie daran, was X ist: Verschiebung aus dem Gleichgewicht . Wo ist die Gleichgewichtsposition Ihres intraplanetaren Reisenden, und wie weit sind Sie von diesem Punkt entfernt, wenn Sie die Kraft auf diesen Reisenden bewerten?

An den Downvoter: Es wäre großartig, wenn Sie einen Kommentar hinterlassen könnten, in dem Sie Verbesserungen vorschlagen oder sagen könnten, wie schlecht diese Antwort ist.
Die Antwort verfehlt den Punkt des Problems, nämlich die Aufschlüsselung der einfachen umgekehrten Quadratformel im Inneren des Planeten. Die harmonische Bewegung ist um das Zentrum des Planeten und daher die Verschiebung aus dem Gleichgewicht X fällt mit der radialen Koordinate zusammen R bis zu einem Zeichen, aber nehmend k = F / X = F / R unter Beibehaltung F ∝ 1 / R 2 wird immer scheitern - Bewegung außerhalb des Planeten ist nicht harmonisch!
Nur um das klarzustellen, weder ich noch das OP haben es jemals gesagt F ∝ 1 / R 2 , noch wurde Bewegung außerhalb des Planeten erwähnt.
Kraft zum Einsatz in harmonischer Schwingung durch das Innere eines Planeten
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