Krümmung eines Kabels, das eine Hängebrücke trägt, wenn die Masse des Kabels nicht vernachlässigbar ist

Lassen$y(x)$sei die Kurve, die die Form des Kabels beschreibt. Lassen$T(x)$sei die Spannung im Kabel. Stellen Sie sich ein kleines Segment vor, das sich von erstreckt$x$Zu$x+dx$. Die horizontale Komponente der Spannung an den beiden Enden dieses Segments muss sich also aufheben$T_x$muss konstant sein. Wenn$\theta$ist der Winkel, den das Kabel mit der Vertikalen bildet, so dass$y'=\tan\theta$, Dann$T\cos\theta$ist konstant. Mit anderen Worten,

$${T\over \sqrt{1+y'^2}}=\alpha$$ Wo$\alpha$ist etwas konstant.

Betrachten Sie nun vertikale Kräfte. Die Spannkräfte an den beiden Enden unseres kleinen Längenelements sind

$$T_y(x+dx)-T_y(x)=T_y'(x)\,dx=(T\sin\theta)'\,dx=\left(Ty'\over \sqrt{1+y'^2}\right)'dx= \alpha y''\,dx.$$ Diese Kraft muss das Gewicht des Kabels und der darunter liegenden Hängebrücke ausgleichen: $$\alpha y''\,dx=\beta\sqrt{1+y'^2}\,dx+\gamma\, dx.$$ Hier$\beta,\gamma$sind die linearen Massendichten des Kabels bzw. der Brücke.

Die Gleichung, die wir lösen müssen, ist also

$$y''=b\sqrt{1+y'^2}+c,$$ Wo$b=\beta/\alpha,c=\gamma/\alpha$.

Lassen$m(x)=y'(x)$die Steigung sein. Dann ist dies eine trennbare Gleichung erster Ordnung für$m$, mit Lösung

$$x=\int{dm\over b\sqrt{1+m^2}+c}.$$ Mathematica macht fröhlich dieses Integral: $$x=\frac{\frac{c \tan ^{-1}\left(\frac{c m}{\sqrt{m^2+1} \sqrt{b^2-c^2}}\right)}{\sqrt{b^2-c^2}}-\frac{c \tan ^{-1}\left(\frac{b m}{\sqrt{b^2-c^2}}\right)}{\sqrt{b^2-c^2}}+\sinh ^{-1}(m)}{b}.$$ Jetzt müssen Sie "alles" tun, um dies zu invertieren$m(x)$, und integrieren$y(x)=\int m(x)dx$. Leider gibt es dafür keine schöne geschlossene Lösung. Aber Mathematica verifiziert, dass die Lösung zu einer Oberleitung geht als$c\to 0$und zu einer Parabel als$b\to 0$, also ich finde es richtig.

[Bearbeitet von TB: ursprünglich die letzte Grenze gesagt$c\to\infty$, Aber$b\to 0$ist besser. Siehe meinen Kommentar unten.]