Winkel im statischen Gleichgewicht

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Winkel im statischen Gleichgewicht

Kräfte
Physik
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Gleichgewicht
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Kai

Ich habe drei Massen $\left(F_\alpha, \, F_\beta , \, \text{and} \,F_g \right)$ mit 2 Umlenkrollen und einer im statischen Gleichgewicht befindlichen Windvariable. Die entsprechenden Kräfte für die 3 Massen habe ich bereits durch Multiplizieren mit berechnet $9.81 \, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ (Schwere).

\begin{aligned} F_{Wind} & = & 60 & N \\ F_{a} & = & 313.9 & N \\ F_{β} & = & 619 & N \\ F_{G} & = & 882.9 & N \end{aligned}

$\begin{alignat}{7} & F_{\text{wind}} && ~=~ & 60 \phantom{.0} & \, \mathrm{N} \\[2px] & F_{\alpha} && = & 313.9 & \, \mathrm{N} \\[2px] & F_{\beta} && = & 619 \phantom{.0} & \, \mathrm{N} \\[2px] & F_{g} && = & 882.9 & \, \mathrm{N} \\ \end{alignat}$

Ich muss die Winkel für den Vektor finden $F_\alpha$ Und $F_\beta$ wie in den folgenden Gleichungen gezeigt (die aus den einzelnen Komponenten des Vektors abgeleitet werden ( $x$ Und $y$ ):

\begin{aligned} (1) & F_{a} \cos (a) & + F_{β} \cos (β) & + F_{Wind} & = 0 \\ (2) & F_{a} Sünde (a) & + F_{β} Sünde (β) & - F_{G} & = 0 \end{aligned}

$\begin{alignat}{7} F_α \, \cos{\left( α \right)} & \, + \, F_β \, \cos {\left( β \right)} && + F_\text{wind} & ~=~ 0 \tag{1} \\[2px] F_α \, \sin{\left(α\right)} & \, + \, F_β \, \sin {\left( β \right)} && - F_g & ~=~ 0 \tag{2} \end{alignat}$

Diese durch tatsächliche Werte ersetzen :
- 313,9 cos α + 619 cos β + 60 = 0 — (1)
313,9 sin α + 619 sin β - 882,9 = 0 — (2)

Wie finde ich den Winkel α & β aus diesen beiden Gleichungen?

Bearbeiten 2:

Ich habe die Gleichung neu organisiert und quadriere sie wie folgt:
cos²a = (619² cos²β + 60² + 2(619cosβ * 60)) / 313,9²
sin²a = (619² sin²β + 882,9² - 2(619sinβ * 882,9)) / 313,9²

Gert

Hier wäre die Bereitstellung eines Diagramms sehr hilfreich.

Kai

@Gert Ich werde den Beitrag bearbeiten, um ein kostenloses Körperdiagramm und das, was ich bisher aus der Anleitung unten gearbeitet habe, aufzunehmen

Kai

@Gert Ich habe entsprechend bearbeitet, obwohl ich mir nicht sicher bin, ob meine Arbeitsweise korrekt ist oder nicht.

Bill N

Die Quadratur der rechten Seiten ist nicht korrekt. Sie haben die Kreuzprodukte der Terme vergessen.

(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y

$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ . Ich schlage **dringend** vor, dass du hart arbeitest, um deine Algebra zu verbessern, sonst verlierst du dich total in der Physik.

Kai

Um ehrlich zu sein, meine Algebra ist ein bisschen eingerostet. In diesem Zusammenhang ergibt das Quadrieren der rechten Seite tatsächlich (-619cosβ - 60)² / (-313,9)², was dann -619²cos²β - 60² - 2(-619cosβ60) ist? @BillN

Bill N

Nein. Was ist

(- Y)^{2}

$(-Y)^2$ ?

Kai

Es wird sich ins Positive wandeln. Ich habe die Frage bearbeitet und zu dieser Form abgeleitet: 0 = A + Bcosβ - Csinβ. Von hier an könnte mich jemand in die richtige Richtung weisen?

22134484

Wenn Sie diese Form haben, wird die erste Ableitung davon das loswerden

A

$A$ Begriff und verlassen Sie mit irgendeiner Form

B β s i n β + C β c o s β = 0

$Bβ sinβ + Cβ cos β = 0$ . Von dort aus wäre es einfach, β zu finden (Hinweis: tanβ)

Benutzer137661

Hinweis: Fügen Sie die letzten beiden Gleichungen hinzu, die Sie posten ... es sollte eine Identität geben, die eine der Variablen entfernt, und dann bleibt Ihnen nur eine Gleichung, um die andere zu finden ...

Antworten (2)

Winkel im statischen Gleichgewicht

Hier wäre die Bereitstellung eines Diagramms sehr hilfreich.
@Gert Ich werde den Beitrag bearbeiten, um ein kostenloses Körperdiagramm und das, was ich bisher aus der Anleitung unten gearbeitet habe, aufzunehmen
@Gert Ich habe entsprechend bearbeitet, obwohl ich mir nicht sicher bin, ob meine Arbeitsweise korrekt ist oder nicht.
Die Quadratur der rechten Seiten ist nicht korrekt. Sie haben die Kreuzprodukte der Terme vergessen. $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ . Ich schlage **dringend** vor, dass du hart arbeitest, um deine Algebra zu verbessern, sonst verlierst du dich total in der Physik.
Um ehrlich zu sein, meine Algebra ist ein bisschen eingerostet. In diesem Zusammenhang ergibt das Quadrieren der rechten Seite tatsächlich (-619cosβ - 60)² / (-313,9)², was dann -619²cos²β - 60² - 2(-619cosβ60) ist? @BillN
Es wird sich ins Positive wandeln. Ich habe die Frage bearbeitet und zu dieser Form abgeleitet: 0 = A + Bcosβ - Csinβ. Von hier an könnte mich jemand in die richtige Richtung weisen?
Wenn Sie diese Form haben, wird die erste Ableitung davon das loswerden $A$ Begriff und verlassen Sie mit irgendeiner Form $Bβ sinβ + Cβ cos β = 0$ . Von dort aus wäre es einfach, β zu finden (Hinweis: tanβ)
Hinweis: Fügen Sie die letzten beiden Gleichungen hinzu, die Sie posten ... es sollte eine Identität geben, die eine der Variablen entfernt, und dann bleibt Ihnen nur eine Gleichung, um die andere zu finden ...

John Alexiou · Answer 1

Sie können den Winkel eliminieren $\alpha$ aus den Gleichungen mit dem Trick ergeben sich die anderen Antworten ^* . Aber dann werden Sie mit einer Gleichung der Form enden

A \cos β + B Sünde β + C = 0

$A \cos \beta + B \sin \beta + C = 0$

Um dies zu lösen, führen Sie die folgende Transformation durch

\begin{aligned} A & = R \cos ψ \\ B & = R Sünde ψ \end{aligned}} \begin{aligned} R & = \sqrt{A^{2} + B^{2}} \\ ψ & = \arctan (\frac{B}{A}) \end{aligned}

$\left. \begin{align} A & = R \cos \psi \\ B & = R \sin \psi \end{align} \right\} \begin{aligned} R & = \sqrt{A^2+B^2} \\ \psi & = \arctan\left( \frac{B}{A} \right) \end{aligned}$

Die Gleichung ist jetzt

C Ö S β \cos ψ + Sünde β Sünde ψ = \cos (β - ψ) = - \frac{C}{R}

$cos\beta\cos\psi + \sin\beta \sin\psi = \cos(\beta-\psi) = -\frac{C}{R}$

was gelöst ist

\begin{aligned} β & = \arccos (- \frac{C}{R}) + ψ \\ = \arccos (- \frac{C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}) + \arctan (\frac{B}{A}) \end{aligned}

$\begin{split} \beta & = \arccos\left( -\frac{C}{R} \right) + \psi \\ & = \arccos\left( -\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}} \right) + \arctan\left( \frac{B}{A} \right)\end{split}$

_Fußnoten:

Stellen Sie die Gleichungen dieser Form auf $\begin{aligned} \cos a & = A \cos β + C_{X} \\ Sünde a & = - A Sünde β + C_{j} \end{aligned}$ $\begin{align} \cos \alpha & = a \cos\beta+c_x \\ \sin \alpha & = -a \sin \beta + c_y \end{align}$
quadrieren Sie beide Seiten und fügen Sie sie hinzu $1 = 2 A C_{X} \cos β - 2 A C_{j} Sünde β + C_{X}^{2} + C_{j}^{2} + A^{2}$ $1 = 2 a c_x \cos\beta - 2 a c_y \sin\beta + c_x^2 + c_y^2 +a^2$ $(2 A C_{X}) \cos β + (- 2 A C_{j}) Sünde β + (C_{X}^{2} + C_{j}^{2} + A^{2} - 1) = 0$ $\left(2 a c_x\right) \cos\beta + \left(- 2 a c_y\right) \sin\beta + \left(c_x^2 + c_y^2 +a^2-1\right) = 0$
Verbinde die $A$ , $B$ Und $C$ Koeffizienten.
Einmal $\beta$ bekannt ist, teilen Sie dann die beiden obigen Gleichungen durch $bräunen a = \frac{C_{j} - A Sünde β}{C_{X} + A \cos β}$ $\tan \alpha = \frac{c_y - a \sin\beta}{c_x + a \cos\beta}$

Bearbeiten 1

Hier ist die eigentliche Lösung:

\begin{aligned} - 313.9 \cos (a) + 619 \cos (β) + 60 & = 0 \\ 313.9 Sünde (a) + 619 Sünde (β) - 882.9 & = 0 \end{aligned}} \begin{aligned} 313.9 \cos (a) & = 619 \cos (β) + 60 \\ 313.9 Sünde (a) & = - 619 Sünde (β) + 882.9 \end{aligned}

$\left. \begin{align} -313.9 \cos(\alpha) + 619 \cos(\beta) + 60 & = 0 \\ 313.9 \sin(\alpha) + 619 \sin(\beta) - 882.9 & = 0 \end{align} \right\} \begin{aligned} 313.9 \cos(\alpha) & = 619 \cos(\beta) + 60 \\ 313.9 \sin(\alpha) & = - 619 \sin(\beta) + 882.9 \end{aligned}$

Quadriere und addiere die beiden Gleichungen (auf jeder Seite), um zu erhalten

98533.21 = 74280 \cos (β) - 1093030.2 Sünde (β) + 1166273.41} 74280 \cos (β) - 1093030.2 Sünde (β) + 1067740.2 = 0

$\left. 98533.21 = 74280 \cos(\beta) - 1093030.2 \sin(\beta) + 1166273.41 \right\}\\ 74280 \cos(\beta) - 1093030.2 \sin(\beta) + 1067740.2 = 0$

\begin{aligned} β & = \arccos (- \frac{C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}) + \arctan (\frac{B}{A}) \\ A & = 74280 \\ B & = - 1093030.2 \\ C & = 1067740.2 \\ β & = 1.41284652 = 80.9501426 ° \end{aligned}

$\begin{aligned} \beta & = \arccos\left( -\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}} \right) + \arctan\left( \frac{B}{A} \right) \\ A & = 74280\\ B & = -1093030.2 \\ C & = 1067740.2\\ \beta &= 1.41284652 = 80.9501426° \\ \end{aligned}$

Endlich, $\alpha$ kann mit der 2. Gleichung gelöst werden:

Sünde (a) = 2.81267919 - 1.97196559 Sünde (β)

$\sin(\alpha) = 2.81267919-1.97196559 \sin(\beta)$

a = 1.04567064 = 59.9125144 °

$\alpha = 1.04567064 = 59.9125144°$

Jetzt können Sie die Werte von einfügen $\alpha$ Und $\beta$ in die beiden ursprünglichen Gleichungen, um zu bestätigen, dass es die Kräfte ausgleicht.

Hallo! Darf ich wissen, wie Sie die ersten beiden Gleichungen abgeleitet haben: cosα = acosβ+cx & sinα = −asinβ+cy?
Im OP-Fall $A$ Und $B$ sind die gleichen, was die Lösung viel einfacher macht als der allgemeine Fall, den Sie skizziert haben.
Hallo, ich muss mich zurückziehen, da ich damit nicht die richtige Antwort erhalten habe, α = 55,58 °, β = 79,07 °
Die oben genannten Methoden sind korrekt. Der Fehler muss woanders liegen.
Dein $\alpha=55.58°$ Und $\beta=79.07°$ das Gleichungssystem nicht lösen. Was löst das Gleichungssystem ist $\begin{aligned} a & = 59.912514710332826 ° \\ β & = 80.950143077864119 ° \end{aligned}$ $\begin{align} \alpha & = 59.912514710332826° \\ \beta & = 80.950143077864119° \end{align}$ was ich mit meinen Gleichungen oben bekomme.

Bill N · Answer 2

Dies ist ein typischer Lösungstrick, wenn Sie ein System haben, das Sinus und Cosinus mit demselben unbekannten Winkel enthält: Organisieren Sie die Gleichungen so, dass Sie haben

\cos a = S T u F F

$\cos\alpha = stuff$ Und

Sünde a = Ö T H e R S T u F F .

$\sin\alpha = other stuff.$ Quadriere diese Gleichungen und addiere sie. Der Winkel

α

$\alpha$ wird eliminiert, weil

{Sünde}^{2} a + \cos^{2} a = 1.

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.$

In Ihrem Fall ist es schön, dass die Koeffizienten auf beiden liegen $\alpha$ Bedingungen sind die gleichen, und auch auf beiden $\beta$ Bedingungen. Für den Rest kannst du eine Doppelwinkelformel verwenden $\beta$ Begriffe zu lösen $\beta.$ Dann kannst du nach lösen $\alpha$ . Erinnere dich an dieses Werkzeug und bringe es jemand anderem bei.

Hallo, ich werde versuchen, es mit dieser Methode zu lösen, aber ich habe eine kurze Frage. Wenn ich diese Gleichungen quadriere (nachdem ich sie neu organisiert habe), quadriere ich auch die linke Seite der Gleichung? (cosα & sinα)
Natürlich ... machen Sie die Algebra richtig. Ich nehme an, Sie kennen sich mit Algebra aus!
nur grundlegende, ohne cos/sin-Funktionen, aber möchten Sie sich meine Bearbeitung ansehen und sehen, ob ich in die richtige Richtung gehe? Danke! :)
Auch wenn Sie beide Seiten teilen, werden Sie haben $\tan \alpha = \frac{\ldots}{\ldots}$ was gelöst ist $\alpha$ .
@ ja72 Nein, weil die rechten Seiten Summen von trigonometrischen Funktionen des anderen Winkels enthalten, $\beta$ .
Eine weitere Lösungsmethode, die viel Algebraarbeit spart: Richten Sie die Gleichungen (1) und (2) in einem Gleichungslöser ein und lassen Sie den Gleichungslöser gleichzeitig beide Winkel manipulieren, um beide Gleichungen auf Null zu bringen.

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