Lagrange für freie Teilchen in der speziellen Relativitätstheorie

Aus der Definition von Lagrange: L = T − U . Wie ich für freie Teilchen verstehe ( U = 0 ) sollte man schreiben L = T .

In der speziellen Relativitätstheorie wollen wir eine Lorentz-invariante Wirkung, daher definieren wir Freiteilchen-Lagrange wie folgt:

L = − M C 2 γ − U

Gleichzeitig haben wir, dass die Definition des 4-Impulses impliziert, dass die kinetische Energie ist:

T = ( γ − 1 ) M C 2 .

Wie Sie sich vorstellen können, ist 1) die Frage, wie all diese Formeln in Beziehung gesetzt werden sollen?

2) Ich verstehe nicht, warum es keine gibt 1 / γ nahe U im relativistischen Lagrange?

3) Was bedeutet der erste Begriff in L für relativistischen Fall?

Diese Fragen (v3) zum kinetischen Begriff/freien Teilchen sind im Wesentlichen ein Duplikat von physical.stackexchange.com/a/50076/2451

Antworten (2)

Es hilft, die vollständige Aktion zu schreiben:

S = ∫ − M C 2 γ D T − ∫ U D T

Der erste Term lässt sich dadurch in eine viel bessere Form bringen D τ = D T γ stellt die Eigenzeit für das Teilchen dar. Die Aktion ist dann:

S = − M C 2 ∫ D τ − ∫ U D T
Der erste Term ist Lorentz-invariant, da er nur der Abstand zwischen zwei Punkten ist, der durch die Minkowski-Metrik gegeben ist, und ist relativ relativ. Der zweite Term ist jedoch nicht (vorausgesetzt, dass U ist ein Skalar); es kann auf keinen Fall eine relativistische Aktion sein.

Es gibt zwei einfache Auswege:

  1. Die erste besteht darin, einfach den Begriff in zu ändern U γ . Dies ergibt die Aktion:
    S = − ∫ ( M C 2 + U ) D τ
  2. Die zweite besteht darin, den Begriff (eine Terminologie, die in Zees Einstein Gravity in a Nutshell verwendet wird ) zu einem relativistischen Skalarprodukt zu „befördern“, was die Wirkung ergibt:
    S = − M C 2 ∫ D τ − ∫ U μ D X μ

Ersteres hat kein klassisches Analogon der realen Welt (das ich kenne), und letzteres ist mehr oder weniger die Wechselwirkung eines Teilchens mit einem statischen elektromagnetischen Feld. Aber die ursprüngliche Form wird von letzterem zurückgewonnen, wenn die räumlichen Komponenten von U μ verschwinden, nur verlassen U 0 .

Die kinetische Energie erhält man durch Transformation des Lagrange- in den Hamilton-Operator (siehe hier ).

Ein sehr informeller Ansatz wäre, zu verstehen, wie sich die Mathematik entwickelt: Da „Aktion“ im Sinne von Lagrange niemals ein Vektor ist, muss es ein Skalar sein. Es ist in diesem Fall die Energie. Aus der speziellen Relativitätstheorie haben wir das Postulat, dass die Gesetze der Physik für alle Beobachter in allen Trägheitsbezugssystemen gleich sind. Somit:

L γ = − M C 2
Ö R , L = − M C 2 / γ

Wir verstehen, dass für jede Koordinate die folgende Größe den verallgemeinerten Impuls darstellt :

P ich = δ L / δ Q ˙ ich = − M C 2 δ 1 − β 2 / δ v = v γ M C 2 / C 2 = γ M v
(Im Einklang mit relativistischem Momentum)

Daher kann erwartet werden, dass der endgültige Ausdruck für die Lagrange-Funktion die Form annimmt:

L = − M C 2 / γ − v ( X )

Lagrange für freie Teilchen in der speziellen Relativitätstheorie
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