Lagrange-Gleichung für impulsive Kräfte

Diese Argumentation ist richtig, aber es ist auch notwendig zu beweisen, dass das zweite LHS-Integral Null ist.

Wenn das Primitiv$f$der partiellen Ableitung$\frac{\partial L}{\partial q}$, dh ,$\frac{df}{dt} = \frac{\partial L}{\partial q}$befriedigte nicht$f_{i}=f_{f}$, dann wäre das zweite LHS-Integral nicht Null.

Denn die impulsiven Kräfte sollen in der infinitesimalen Zeit nur eine unstetige Änderung der verallgemeinerten Geschwindigkeiten bewirken$\Delta t$, aber dann nicht auf den verallgemeinerten Koordinaten$\frac{\partial L}{\partial q}$bleibt kontinuierlich, wenn die nicht-impulsiven Kräfte nur ortsabhängig sind.

Dies ist in diesem speziellen Beispiel zweier Billardkugeln in einer xy- Ebene der Fall. Der$x_{i}$Und$y_{i}$Koordinaten sind nicht eingeschränkt und sie sind die verallgemeinerten Koordinaten$q_{i}$Auch. Also das Verhältnis

gilt, wo$\tilde{F}_{i}$ist die raumabhängige nicht-impulsive Kraft.

Beachten Sie, dass die Billardkugeln für das Problem nicht irrelevant sind. Wurden die Kugeln einer geschwindigkeitsabhängigen Kraft ausgesetzt, so hing die kinetische Energie auch von den Raumkoordinaten ab$q_{i}$, dann wäre dieses Ergebnis nicht gültig, da das zweite LHS-Integral nicht verschwinden könnte. Dieses Ergebnis gilt beispielsweise nicht für zwei kollidierende Pendel, da die kinetische Energie$T = m/2 (\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})$hängt explizit von der verallgemeinerten Koordinate ab$r$. Physikalisch bedeutet dies, dass unmittelbar nach dem Stoß eine nicht kontinuierliche Änderung der Spannung an dem masselosen Stab, der die Masse trägt, auftritt.