Liouvilles Theorem und gravitativ abgelenkte Lichtwege

Diese Frage ist ziemlich alt, aber ich dachte, andere Leute als OP könnten an der Antwort interessiert sein. Ich hatte genau die gleiche Frage, also fragte ich meinen Berater und er sagte mir, dass die Antwort an zwei Stellen zu finden ist. Erstens (und nicht überraschend) gibt es eine vollständige Herleitung in Misner, Thorne und Wheeler, insbesondere in den Abschnitten 22.5 und 22.6. Es gibt auch einen Versuch einer intuitiveren Erklärung in Schutz's Gravity from the Ground Up , einem sehr interessanten Buch, das versucht, GR nur mit Highschool-Mathematik zu erklären. Ich bin mir nicht sicher, ob die dort gegebene Erklärung sinnvoll ist, aber sie hat mir geholfen, zu einer zu gelangen, die dies tut.

Wenn ich das Ganze zusammenfassen müsste, würde ich sagen, dass die Erhaltung der Oberflächenhelligkeit (oder spezifische Intensität, oder étendue, oder ...) das Ergebnis eines Austauschs zwischen Ortsraumvolumen und Impulsraumvolumen oder zwischen Festkörper ist Winkel und Fläche.

Ich werde nicht die gesamte Mathematik wiedergeben, da sie in MTW zu finden ist, aber die Grundidee ist wie folgt. Die erste wichtige Tatsache ist, dass Sie sich die Lichtausbreitung als ein Bündel "klassischer" Photonen vorstellen können, die sich entlang Null-Geodäten bewegen, und die Anzahl der Photonen bleibt erhalten.

Dieses Photonenbild ermöglicht es Ihnen, die kinetische Theorie zu verwenden, wie sie in Abschnitt 22.6 von MTW entwickelt wurde, wo der Satz von Liouville abgeleitet wird: gegeben ein Bündel von$N$Teilchen, das Volumen$\mathcal{V}$im von ihnen belegten Phasenraum, der durch das Produkt gegeben ist$\mathcal{V} = \mathcal{V}_x \mathcal{V}_p$des Volumens im 3-Raum und im Impulsraum, gemessen von einem lokal inertialen Beobachter, ist Lorentz-invariant und entlang der Weltlinie konstant. Daher die Zahlendichte$\mathcal{N} = N/\mathcal{V}$ist auch konstant. Ich werde den Beweis nicht durchgehen, da es viel einfacher ist, sich nur die Bilder in MTW anzusehen, aber dies ist der Schlüsselschritt, der alle kontraintuitiven Konsequenzen hat.

Der letzte Schritt besteht darin, die Anzahldichte mit der spezifischen Intensität oder Flächenhelligkeit in Beziehung zu setzen$I_\nu$, Energiemenge pro Zeiteinheit, Detektorfläche, Frequenz und Raumwinkel der Impulse der Photonen. Dies ist eine ziemlich standardmäßige Ableitung, und sie macht Sinn. Das Ergebnis ist das$\mathcal{N} = h^{-4} I_\nu/\nu^3$.

Die Frequenz kann sich entlang der Geodäte auf verrückte Weise ändern, aber solange es keine kosmologische Rotverschiebung zwischen der Quelle und dem Beobachter gibt, ist die Nettoänderung null, also für unsere Zwecke$I_\nu$ist konstant, was das Ergebnis ist, das wir brauchten. Ein gegebener Raumwinkel aus der Betrachterperspektive erhält den gleichen Fluss, egal ob eine Linse im Weg ist oder nicht.

Wie Sie bemerkt haben, hat dies ziemlich kontraintuitive Konsequenzen. Aus Energieerhaltungsgründen würde man (fälschlicherweise) erwarten, dass ein größeres Bild dunkler ist, da ein gegebener fester Beobachtungswinkel weniger vom gelinsten Bild als vom nicht gelinsten Bild abdeckt. Aber das Bild wirkt auch näher, also auch heller. Oder, um es vorsichtiger auszudrücken, wenn ein Punkt auf der Quelle gegeben ist, wird Licht aus einem größeren Raumwinkel den Beobachter erreichen, als wenn es keine Linse gäbe (ich hoffe, dieser Satz macht Sinn!). Die Erhaltung des Phasenraumvolumens garantiert, dass sich diese beiden Effekte genau aufheben.

Wenn jemand daran interessiert ist, darüber nachzudenken, habe ich einige Ratschläge. Sie müssen beim Zeichnen von 2D-Bildern vorsichtig sein, da die Verwendung von Raumwinkeln unerlässlich ist: Es kann vorkommen, dass Bilder in einer Richtung gestaucht und in der anderen gestreckt werden, sodass das Bild in einem 2D-Diagramm kleiner aussehen würde, während es tatsächlich größer ist. Außerdem müssen Sie Lichtstrahlen berücksichtigen, die in einem bestimmten Raumwinkel von einem Punkt auf der Quelle ausgehen, sowie Lichtstrahlen, die von einem Bereich auf der Quelle ausgehen und auf einem Punkt beim Beobachter mit einem Raumwinkel zusammenlaufen. Dies ist der Kompromiss zwischen Raumwinkel und Fläche, den ich zuvor erwähnt habe.

Worauf sie sich beziehen, ist eine Eigenschaft des Lichts aus der geometrischen Optik. Die konservierte Eigenschaft ist "Entendue" (siehe Wikipedia-Artikel ), und die Konstanz der Helligkeit kann auf verschiedene Weise demonstriert werden (Hamiltonsche Optik, dh Satz von Liouville, zweiter Hauptsatz der Thermodynamik wie oben usw.).

Dies ist nur der zweite Hauptsatz der Thermodynamik.

Angenommen, Sie haben einen großen schwarzen Quellkörper und einen kleinen schwarzen Zielkörper. Sie bauen eine ganze Reihe geometrischer Optiken, um Licht von der Quelle zum Ziel zu fokussieren (z. B. Spiegel hinter dem Ziel und Linsen davor). Schließlich schaut ein Beobachter, der auf dem Ziel steht, nach oben und sieht an jedem Punkt des Himmels Licht von der Quelle.

All dieses einfallende Licht heizt den schwarzen Zielkörper auf, bis er Licht so schnell abstrahlt, wie es einfällt. Das bedeutet, dass das Ziel die gleiche Temperatur wie die Quelle erreicht. Wenn Sie den Fluss pro Raumwinkeleinheit erhöhen könnten, würde das Ziel heißer als die Quelle werden und das zweite Gesetz brechen.

Ist das genug, oder wollten Sie eine technische Analyse der Linsengleichung?