Lokale Temperaturgleichung für einen Planeten

Nachdem ich in Science-Fiction zu viele Planeten mit zwei Sonnen gesehen habe, die zu sehr wie ein geozentrisches System aussehen, versuche ich zu meiner eigenen Belustigung zu verstehen, ob es wirklich möglich ist, einen Planeten mit zwei Sonnen zu haben, der Leben erhalten kann, und wie anders es wird von unserem Planeten sein.

Da es wirklich schwierig ist, eine 3-Körper-Lösung zu finden, die stabile Umlaufbahnen und stabile Temperaturen für den Planeten hat, habe ich mich entschieden, die Auswahl einzuschränken und ein wenig zu schummeln. Ich habe mir ein anderes 3-Körper-System angesehen, das wir alle kennen und das stabil genug ist, um ein paar Milliarden Jahre zu überdauern: Sonne-Erde-Mond. Um es zu vergrößern, besteht die Idee darin, einen Planeten zu haben, der einen roten Zwerg (Stern 1) umkreist, der wiederum einen blauen Riesen (Stern 2) umkreist. Um realistisch zu sein, sollte der Planet durch Gezeiten mit dem Roten Zwerg verbunden sein (und das sollte auch die Berechnungen vereinfachen). Um die Situation noch weiter zu vereinfachen, stellte ich mir den Planeten erdähnlich vor: gleiche Masse, Dichte, Albedo, Zusammensetzung, Neigung usw.

Lassen$\alpha$sei der Breitengrad (0 am Äquator, 90° am Nordpol),$\beta$der Längengrad (0 am heißen Pol, wo der Rote Zwerg senkrecht zum Boden leuchtet) und$\delta = 23.5^{\circ} \sin \left( \frac{2 \pi}{\tau_2} t \right)$die Neigung des Planeten in Bezug auf Stern 2, wo$\tau$ist die Umlaufzeit.

Wo Stern 1 scheint, hat er einen festen Winkel zum Azimut

$$\sin(\gamma_1) = \cos(\alpha) \cos(\beta)$$ während Star 2 einen variablen Winkel hat $$\sin(\gamma_2(t)) = \sin(\alpha) \sin(\delta) - \cos(\alpha) \cos(\delta) \cos \left( \frac{2 \pi}{\tau_1} t - \beta \right)$$ wo $t = 0$bedeutet, es ist Mitternacht um $\beta = 0$. Da Star 2 ein blauer Riese ist, ist der Zeitraum groß genug, dass die Zeitabhängigkeit von $\delta$ist vernachlässigbar und kann als Konstante für tägliche Schwankungen behandelt werden.

Sonnenaufgangs- und Sonnenuntergangszeiten können auf Anfrage berechnet werden$\sin(\gamma_2) = 0$:

• Wenn$\delta = 0$, dann$t_{sr} = \tau_1 \left( \frac{1}{4} + \frac{\beta}{2 \pi} \right)$und$t_{ss} = \tau_1 \left( \frac{3}{4} + \frac{\beta}{2 \pi} \right)$.
• Wenn$\delta > 0$dann:
  • Wenn$- \frac{1}{\tan(\delta)} \le \tan(\alpha) \le \frac{1}{\tan(\delta)}$dann$t_{sr} = \frac{\tau_1}{2 \pi} \arccos(\tan(\alpha) \tan(\delta)) + \frac{\tau_1 \beta}{2 \pi}$und$t_{ss} = \tau_1 - t_{sr}$
  • Wenn$\tan(\alpha) > \frac{1}{\tan(\delta)}$dann leuchtet Star 2 immer
  • Wenn$\tan(\alpha) < -\frac{1}{\tan(\delta)}$dann leuchtet Star 2 nie
• Wenn$\delta < 0$dann: wie oben, außer dass der zweite und dritte Fall vertauscht sind

Ich kann eine mittlere Temperatur auswerten, indem ich mir die Sternkonstanten anschaue$I_1$und$I_2$und ihre Summe mit unserer Sonnenkonstante zu vergleichen, um eine mittlere Temperatur für einen bestimmten Breiten- und Längengrad zu erhalten. Das hilft ein wenig, aber das Problem ist, dass es nur dann eine gute Schätzung ist, wenn$\tau_1$ist der Periode der Erde ähnlich genug. Eine mittlere Temperatur auf der Erde bedeutet, dass die minimalen und maximalen Temperaturen normalerweise weniger als 10 K von der mittleren Temperatur entfernt sind, aber wenn$\tau_1$Je größer der Planet ist, desto mehr Zeit hat er, während des „Tags“ Wärme aufzunehmen und während der „Nacht“ Wärme abzugeben, wodurch sich der Unterschied vergrößert.

Mein zweiter Ansatz bestand darin, eine Differentialgleichung aufzustellen:

• Die Gesamtenergie ist$\mbox{d}E_{tot} = c m\,\mbox{d}T$, wo$c$ist die spezifische Wärme und$m$die Masse, in der die Wärme gespeichert wird.
• Die ankommende Energie ist$\mbox{d}E_{in} = a (1-A) (I_1 \sin(\gamma_1) + I_2 \sin(\gamma_2 (t))) \mbox{d}t$, wo$a$ist ein Bereich und$A$die Albedo des Planeten
• Die ausgehende Energie ist$\mbox{d}E_{out} = \sigma a T^4 \mbox{d}t$(Stefan-Boltzmann-Gesetz)

Die resultierende Gleichung lautet:

$$\frac{\mbox{d}T}{\mbox{d}t} = \frac{a (1-A)}{c m} (I_1 \sin(\gamma_1) + I_2 \sin(\gamma_2 (t))) - \frac{\sigma a}{c m} T^4$$

wo$I_1 = 0$auf der dunkleren Seite und$I_2= 0$wenn Stern 2 nicht sichtbar ist. Das bedeutet, dass diese Gleichung wirklich 4 verschiedene Gleichungen sind.

Dieser Ansatz hat zwei große Probleme: Erstens die Parameter$c$,$m$,$a$scheint leicht zu definieren, wenn wir über einen ganzen Planeten sprechen, aber ziemlich schwierig, wenn wir nur einen kleinen Teil analysieren. Zweitens, und noch wichtiger, scheint die Gleichung unlösbar zu sein, zumindest wenn Stern 2 sichtbar ist. Im Allgemeinen handelt es sich um eine Chini-Differentialgleichung (siehe hier ). Wenn beide Sterne nicht sichtbar sind, wird es zu einer Bernoulli-Gleichung und die Lösung ist leicht zu finden; wenn nur Stern 1 sichtbar ist, ist die Chini-Invariante konstant ($C=0$um genau zu sein), also gibt es auch für diesen Fall eine genaue Lösung. Wenn Stern 2 sichtbar ist, scheint es jedoch keine Möglichkeit zu geben, eine Lösung zu finden. Meine Frage nach dieser Textwand lautet also:

• Gibt es eine Möglichkeit, die explizite Lösung der Gleichung zu berechnen?
• Gibt es alternativ einen besseren Ansatz für das Problem, der zu einer Lösung führen kann? Zusammenfassend bin ich daran interessiert, die minimale und maximale Temperatur für einen bestimmten Breiten-, Längen-, Neigungs- und Umlaufzeitraum zu berechnen$\tau_1$. Die Temperatur in jedem Augenblick ist nur ein Bonus, kein notwendiges Merkmal.

Bearbeiten : Ich habe einige Computersimulationen durchgeführt und es scheint zu funktionieren, aber aufgrund der nicht so aussagekräftigen Parameter und des Treibhauseffekts, der nur auf die emittierte Wärmestrahlung wirkt, sind einige Kalibrierungen erforderlich. Das Modell berücksichtigt immer noch nicht die Wärmeumverteilung aufgrund von Luft- und Wasserströmungen, aber dies ist wahrscheinlich viel zu kompliziert, um es in das Modell aufzunehmen. Ein paar Grundstücke für die Erde (1 Stern,$\tau = 1$Tag) sind in dieser Galerie zu sehen . Die blaue Linie zeigt den Sonnenaufgang an, die rote Linie den Sonnenuntergang, die grüne Linie die Momentantemperatur, die gelbe Linie die Durchschnittstemperatur und das Pfeilfeld sollte eine Vorstellung von den Steigungen geben, die die Differentialgleichung erzeugt, aber es scheint immer weniger geneigt zu sein als die grüne Kurve.

Das Diagramm wird mit einer Periodizitätsbedingung erstellt: Der Algorithmus beginnt mit einer Temperatur von 300 K und durchläuft einige Tage, bis die Temperatur am Anfang des Tages mit der Temperatur am Ende des Tages übereinstimmt. Die jahreszeitlichen Schwankungen sind so langsam, dass dies eine gute Annäherung sein sollte.