Lorentzkraftableitung in der Quantenmechanik [geschlossen]

In Sakurai und Napolitano, Kapitel 2, gibt es eine Ableitung der QM-Lorentz-Kraft.

Gegeben

$$H=\frac{1}{2m}\left(\mathbf{p}-\frac{e\mathbf{A}}{c}\right)^2+e\phi = \frac{\mathbf{\Pi}^2}{2m}+e\phi$$

der Text behauptet

$$\frac{d\mathbf{\Pi}}{dt} = e\left[\mathbf{E}+\frac{1}{2c}\left(\frac{d\mathbf{x}}{dt}\times\mathbf{B}-\mathbf{B}\times\frac{d\mathbf{x}}{dt}\right)\right].$$

Ich habe Schwierigkeiten, diese zu verbinden ... Ich habe versucht, das Heisenberg-Bild mit zu verwenden

$$\begin{align} \frac{d\mathbf{\Pi}}{dt} &= \frac{1}{i\hbar}[\mathbf{\Pi},H] \\ &= \frac{1}{i\hbar}\left[\mathbf{\Pi},\frac{\mathbf{\Pi}^2}{2m}+e\phi\right] \\ &= \frac{e}{i\hbar}\left[\mathbf{\Pi},\phi\right] \\ &= \frac{e}{i\hbar}\left[\mathbf{p}-\frac{e\mathbf{A}}{c},\phi\right] \\ &= \frac{e}{i\hbar}\left[\mathbf{p},\phi\right]- \frac{e}{i\hbar}\left[\frac{e\mathbf{A}}{c},\phi\right] \\ &= -e\nabla\phi- \frac{e^2}{i\hbar c}\left[\mathbf{A},\phi\right] \\ &= e\mathbf{E} - \frac{e^2}{i\hbar c}\left[\mathbf{A},\phi\right] \end{align}$$

... und ich stecke fest. Es sieht so aus , als ob dies die richtige Richtung war, aber ich verstehe nicht, wie ich den verbleibenden Kommutator beurteilen soll. Beides nicht$A$Und$\phi$Funktionen von$x$? Ich habe versucht, diesen Kommutator nachzuschlagen, aber meine Suchfähigkeiten haben ihn nicht beschafft.