Massen werfen, um an Geschwindigkeit zu gewinnen. Eine Frage der Effizienz

Ich habe neulich an ein System gedacht, bei dem man Masse ausstößt. Und dann frage ich mich, ob es effizienter war, eine große Masse zu werfen oder viele kleine. Lassen Sie es mich anders ausdrücken.

Angenommen, Sie bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit v 0 in einem Auto mit einer Gesamtmasse M . Dann entscheiden Sie sich, einen Masseball zu werfen M mit einer Austrittsgeschwindigkeit von v e . Und Sie werfen den Ball in die entgegengesetzte Richtung der Bewegung. (Das Problem ist in einer Dimension) Der Ball wird sich bewegen v B A l l = v 0 − v e . Durch Impulserhaltung gilt

P 1 = M v 0

Aber nachdem Sie den Ball geworfen haben, ist der Schwung

P 2 = M ( v 0 − v e ) + ( M − M ) v
Wo v ist die neue Geschwindigkeit. Lass uns schreiben v = v 0 + Δ v weil es uns interessieren wird Δ v . Dann können wir schreiben
P 2 = M v 0 − M v e + M v 0 − M v 0 + ( M − M ) Δ v = M v 0 − M v e + ( M − M ) Δ v

Wenn wir keine äußeren Kräfte annehmen P 1 = P 2 Wir werden eine Gleichung haben:

Δ v = M M − M   v e
Und hier wird es seltsam. Wenn wir zu Massen werfen M . Aber gleichzeitig werden wir eine Premiere bekommen Δ v 0
Δ v 0 = 2 M M − 2 M   v e
Aber wenn wir die erste Masse werfen und dann die zweite Masse, kommen wir dazu Δ v ist mit:
Δ v 1 = M M − M   v e Δ v 2 = M ( M − M ) − M   v e
Die Gesamtchance in der Geschwindigkeit ist die Summe aus 1 und 2

Seit M − 2 M < M − M Dann 1 M − 2 M > 1 M − M Dann 2 M − 2 M   M   v e > ( 1 M − M + 1 M − 2 M )   M   v e

Dies deutet meiner Meinung nach darauf hin, dass Sie mehr Geschwindigkeit gewinnen, wenn Sie eine große Masse in einem Schuss werfen, als wenn Sie sie in zwei Teile werfen. Mein Lehrer hat mir gesagt, dass Sie mehr Geschwindigkeit bekommen, wenn Sie sie auseinander werfen. Aber es scheint, dass sie falsch liegt. Ich habe einige Zweifel an diesem Problem. Was denken Sie? Was ist der "effizientere" Weg, um an Geschwindigkeit zu gewinnen, vorausgesetzt, Sie können sie mit derselben Geschwindigkeit werfen? v e .

Ich bin ziemlich sicher, dass es keine Rolle spielt. Ich denke das, weil das, was Sie beschreiben, eine Rakete ist, wenn auch eine, die ihren Schub in großen Brocken abgibt. Und die Tsiolkovsky-Raketengleichung kümmert sich nicht um die Brocken, sondern nur um die Anfangs- und Endmasse und die Abgasgeschwindigkeit. Es ist Δ v = v e ln ⁡ ( M ich / M F ) , Wo v e ist die Abgasgeschwindigkeit (wie schnell Sie die Massen werfen) und M ich , M F sind Anfangs- bzw. Endmassen.
@AccidentalFourierTransform danke ich finde es sieht schöner aus. Übrigens hast du einen schönen Namen (:
@tfb ja, ich habe auch die Idee einer Rakete, aber es ist anders. Weil es der kontinuierliche Fall ist. Wo Sie jedes Mal eine Masse von dm schießen, ist dies die Grenze von Fall zwei. Aber im diskreten Fall ist diese Gleichung nicht so nützlich. Oder ich weiß nicht, wie man es benutzt.
@tfb Es spielt eine Rolle! Um zu der Raketengleichung zu gelangen, die Sie bedenken, wirft die Rakete Materie verschwindend klein aus. Wenn es nur einen großen Brocken emittiert hätte, wäre das Ergebnis gewesen Δ v = M v e / ( M − M ) .
@Diracology Doh, ja, ich bin ein Idiot.
@AccidentalFourierTransform Ich bin bei der Formatierung von Gleichungen inkompetent. Können Sie auch bei meiner Antwort zaubern? Oder verlinken Sie einfach Anweisungen, wie es geht ... Danke!

Antworten (2)

Alle Ihre Berechnungen sind korrekt, aber Ihr Ergebnis widerspricht unserer Intuition sowie der Realität, wie Raketen funktionieren. Hier ist der Grund:

Sie gehen davon aus, dass „Der Ball bewegt sich auf v B A l l = v 0 − v e ". Diese Annäherung gilt nur in der Grenze wo M ist viel kleiner als M . (dh die Grenze eines kontinuierlichen Stroms winziger Kugeln, wie bei einer normalen Rakete) Bei größeren Massenbrocken beschleunigt der Beschleunigungsprozess der Kugel das Auto erheblich genug, um die Abgasgeschwindigkeit sinnvoll zu ändern.

Dies ist die Endgeschwindigkeit des Balls in der Realität:

v B A l l = ( v 0 + Δ v ) − v e

Mit dieser Annahme zu arbeiten, anstatt mit Ihrer, sollte zum gegenteiligen Ergebnis führen und Ihren Lehrer rechtfertigen. Es ist effizienter, viele kleine Massen zu werfen als eine große.

Wie sieht die Mathematik aus, wenn Sie diese Geschwindigkeit für den Ball berücksichtigen? Ich habe ein wenig Schwierigkeiten, die Wirkung der Beschleunigung zu verstehen.
Der gleiche mathematische Ansatz, den Sie in Ihrer Frage verwendet haben, funktioniert hervorragend. Es gibt nur zwei Terme, die ΔV im Ausdruck für Impuls enthalten, anstatt nur einen. Sie sollten immer noch in der Lage sein, nach ΔV aufzulösen.

Dies ist ein ziemlich subtiles Problem. Sie müssen in drei verschiedenen Situationen vorsichtig sein. Ein Ball kann mit Geschwindigkeit (relativ zum Boden) geworfen werden:

A) v 0 − v e .

B) v ( T ) − v e , Wo v ( T ) ist die Geschwindigkeit des Autos kurz nachdem der Ball geworfen wurde.

C) v ( T ) − v e , Wo v ( T ) ist die Geschwindigkeit des Autos kurz bevor der Ball geworfen wird.

Sie haben tatsächlich das Problem angegeben, das a) erfüllt, aber es mit c) gelöst. Ihre Lösung ist richtig, solange Sie umformulieren, wie die Bälle geworfen werden. Ihr Lehrer hat wahrscheinlich Fall b) in Betracht gezogen.

Fall b): Lassen Sie uns anrufen v ich die Geschwindigkeit des Autos nach dem Werfen des i-ten Balls. Erhaltung des Schwungs gleich nach dem Werfen des ersten Balls ist

M v 0 = ( M − M ) v 1 + M ( v 1 − v e ) ,
was gibt
v 1 = v 0 + M v e M .
Das Werfen des zweiten Balls gibt
( M − M ) v 1 = ( M − 2 M ) v 2 + M ( v 2 − v e )
v 2 = v 1 + M v e M − M .
Die Endgeschwindigkeit ist
v 2 = v 0 + M v e M + M v e M − M .
Wenn Sie beide Bälle gleichzeitig werfen, erhalten Sie
M v 0 = ( M − 2 M ) v 2 ' + 2 M ( v 2 ' − v e ) ,
geben
v 2 ' = v 0 + 2 M v e M .
Deshalb v 2 > v 2 ' .

Gute Antwort. Ich denke, es ist auch wichtig zu beachten, dass Fall B insofern etwas Besonderes ist, als es in jeder realen Lebenssituation passiert. Jeder Ball-Shooter, der auf v_e kalibriert ist, erzeugt Fall B, wenn er auf einem Auto montiert ist.
@DuncanHarris Genau! Wird Fall b) verwendet, erhalten wir die Raketengleichung.
Aber in Wirklichkeit wird die Geschwindigkeit größer sein, wenn Sie das Gerät werfen? Ich verstehe, da die Geschwindigkeit relativ ist, hängt sie von der Geschwindigkeit ab, die Sie messen, also stimmen Sie meinem Lehrer zu?
@Ponciopo Im Fall b) hast du gezeigt, dass es besser ist, sie sofort zu werfen. Im Fall c) habe ich gezeigt, dass es besser ist, jedes Mal einen zu werfen. Im Fall a) müssen Sie rechnen =).
Ich denke, Sie haben es mit den Fällen im letzten Kommentar oder in der ursprünglichen Antwort verwechselt.
@Ponciopo Danke, dass du es bemerkt hast! Ich habe es in meinem letzten Kommentar verwechselt.
@DuncanHarris Warum ist b der wahre Fall? Wegen der Beschleunigung, die Sie zuvor beschrieben haben?
Ja. Sie können auch daran denken, v_e zu ​​messen, während Sie im Auto sitzen. Wann misst du es? Es muss sein, nachdem Sie den Ball fertig geworfen haben. Zu diesem Zeitpunkt wurde die Geschwindigkeit des Autos bereits durch die Wurfkräfte erhöht.
Massen werfen, um an Geschwindigkeit zu gewinnen. Eine Frage der Effizienz
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