Gilt die Theorie der Bewegungserhaltung für horizontal-vertikale Systeme?

Sie können das Hinzufügen von Masse als einen unelastischen Stoß betrachten, bei dem die kinetische Energie nicht durch den Impuls erhalten bleibt. Der lineare Impuls in horizontaler Bewegungsrichtung soll vor und nach dem Stoß gleich bleiben.

$$mu = (m+M)v$$

Wo$m$ist die Masse des Wagens,$M$ist die hinzugefügte Masse, u ist die Anfangsgeschwindigkeit des Wagens und$v$ist die Geschwindigkeit des Laufkatzen- + hinzugefügten Massensystems

Das Momentum bleibt immer erhalten.

Vielleicht denken Sie an ein System, bei dem die Masse mit dem Trolley auf Geschwindigkeit gebracht und dann schonend daran befestigt wird?

Dann hat der Wagen dann tatsächlich mehr Schwung als vor der Zugabe – genau so viel wie die Masse allein hatte!

Wenn der Trolley in die Masse kracht, dann sprechen Sie von der "klebenden" Kollision, die Joseph beschrieben hat.

Wenn Sie die Masse beim Vorbeifahren auf den Wagen fallen lassen und sie nicht abrutscht, sollte das Ergebnis sehr ähnlich sein, als würde die Masse an einem Wagen haften bleiben, der dagegen stößt.

Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Masse vor der Kollision einen gewissen vertikalen Impuls hatte. Dadurch beginnt sich das gesamte System – der Wagen, die Masse und der Boden – leicht nach unten zu bewegen. In der Praxis spielt das natürlich keine Rolle, da die Erde so viel mehr wiegt als alles andere.

Wenn Sie "Bewegungserhaltung" sagen, beziehen Sie sich auf die Erhaltung des Impulses. Die Bewegungsmenge bezieht sich auf den Impuls. Beachten Sie, dass die Impulserhaltung nicht nur in horizontaler und vertikaler Richtung funktioniert, sondern in allen drei Dimensionen, vorausgesetzt, die Nettokräfte in allen Richtungen sind Null. Betrachten Sie beispielsweise eine Projektilbewegung (ohne Luftwiderstand). Der Impuls bleibt in horizontaler Richtung erhalten, da die horizontalen Kräfte Null sind, aber entlang der vertikalen Richtung ist ihre Netto-Vertikalkraft (Schwerkraft) ungleich Null, und daher bleibt der vertikale Impuls des Projektils nicht erhalten.

Ihr System ist die Masse und der Wagen, so dass vor dem Hinzufügen der Masse der Gesamtimpuls nur der des Wagens ist, da sich die Masse vermutlich nicht bewegt.

Wenn nun die Masse hinzugefügt wird (sanft, so dass keine Nettokraft nach unten entsteht), bewegt sich der Wagen mit einer anderen Geschwindigkeit, aber der Gesamtimpuls des Wagens und des Massensystems bleibt erhalten, auch wenn die kinetische Energie dies möglicherweise nicht ist. Das ist

$$m_1v_i +m_2\times 0=(m_1+m_2)v_f$$ $$\rightarrow m_1v_i=(m_1+m_2)v_f$$ Wo$m_1$Und$m_2$sind die Massen des Wagens bzw. die Masse und$v_i$,$v_f$sind die Geschwindigkeiten des Trolleys bzw. Trolley+Masse.

Dies ist analog zu einer "haftenden" Kollision, bei der sich zwei Objekte verbinden. Aber für jede Kollision, die in einem isolierten System auftritt, bleibt der Impuls erhalten, so dass der Gesamtimpuls aller Objekte, aus denen das System besteht, vor und nach der Kollision gleich ist.

Dies ist eigentlich ein übliches Physikexperiment für Studenten im ersten Jahr, bei dem man ein Gewicht auf einen sich bewegenden Wagen legt und die Geschwindigkeiten davor und danach misst, um zu bestätigen, dass der Impuls erhalten bleibt.

Um hier die Impulserhaltung zu verstehen, muss man sich Gedanken über die beteiligten Kräfte machen, denn der Impulserhaltungssatz hat einen Nebensatz:

• Wenn die äußere Nettokraft auf ein System Null ist , dann bleibt der Impuls erhalten.

Da Impulse und Kräfte vektorielle Größen sind, gilt dies eigentlich auch für jede Komponente eines orthonormalen Koordinatensystems, also

• Wenn die Komponente$F_x$der Nettokraft entlang der$x$-Richtung Null ist, dann die$x$-Komponente$p_x$des Impulses bleibt erhalten.

In dem Fall im OP bewegt sich der Trolley entlang der$x$-Richtung bei konstanter Geschwindigkeit, da die Nettokraft Null ist. Betrachten Sie nun die Masse und den Wagen als unser System. Wenn die Masse auf den Wagen fallen gelassen wird , ist die äußere Nettokraft auf das System die Gravitationskraft, die auf die Masse ausgeübt wird, wenn sie auf den Wagen fällt (weil die vertikale Nettokraft auf den Wagen null ist). Und so kam es dass der$x$-Komponente der Nettokraft auf das System während dieses Vorgangs immer Null ist. Als Folge davon ist die$x$-Komponente des Impulses bleibt erhalten und Sie können wie gewohnt aufbauen

$$p_{\textrm{trolley},x,i} + p_{\textrm{block},x,i} = p_{\textrm{trolley},x,f} + p_{\textrm{block},x,f}.$$

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Beachten Sie natürlich, dass die$y$-Komponente des Impulses des Systems bleibt nicht erhalten! Es geht von Nicht-Null aufgrund des Abwärtsimpulses des Blocks auf Null, nachdem der Block auf die Laufkatze aufgeschlagen ist und zur Ruhe gekommen ist. Dies ist auf die vor und während der Kollision ausgeübten Kräfte ungleich Null zurückzuführen: die Gravitationskraft auf den Block vor der Kollision und die erhöhte Normalkraft, die während der Kollision nach oben auf die Laufkatze ausgeübt wird.