Mathematik des vereinfachten Luftwiderstands

Question

Mathematik des vereinfachten Luftwiderstands

JS

Ich bin kürzlich auf ein Problem gestoßen, bei dem man beim Hochwerfen eines Balls feststellen muss, ob er schneller aufsteigt oder herunterkommt, wenn nicht nur die Schwerkraft zu berücksichtigen ist, sondern auch der Luftwiderstand mit einer Beschleunigung von $mkv$ Wo $k$ ist nur eine Konstante, $m$ ist die Masse, und $v$ ist Geschwindigkeit. Da es keine horizontale Komponente gibt, handelt es sich um ein eindimensionales Problem, das durch die Differentialgleichung beschrieben wird:

\frac{D v}{D T} = - G - M k v

$\frac{dv}{dt} = -g - mkv$ Nun musste als Teil des Problems die Lösung für ein bestimmtes Beispiel numerisch gefunden werden, was eigentlich ziemlich trivial ist, also entschied ich mich, einen Beweis für alle Werte zu versuchen, indem ich eine Lösung analytisch fand. Dies ist nicht für zusätzliche Noten oder wirklich irgendetwas mit der Bewertung zu tun, sondern wirklich nur ein bisschen Spaß. Also habe ich die Geschwindigkeitsgleichung gelöst:

\frac{D v}{D T} = - G - M k v

$\frac{dv}{dt} = -g - mkv$

\frac{\frac{D v}{D T}}{- G - M k v} = 1

$\frac{\frac{dv}{dt}}{-g-mkv} = 1$

\int \frac{1}{- G - M k v} D v = \int 1 D T

$\int{\frac{1}{-g-mkv}dv}=\int{1 dt}$

- \frac{1}{M k} \int \frac{M k}{M k v + G} D v = T + C_{1}

$-\frac{1}{mk}\int{\frac{mk}{mkv + g}dv} = t + C_1$

\int \frac{M k}{M k v + G} D v = - M k T - M k C_{1}

$\int{\frac{mk}{mkv + g}dv} = -mkt - mkC_1$

\ln M k v + G + C_{2} = - M k T - M k C_{1}

$\ln{mkv + g} + C_2 = - mkt - mkC_1$

\ln M k v + G = - M k T - M k C_{1} - C_{2}

$\ln{mkv + g} = - mkt - mkC_1 - C_2$

M k v + G = e^{- M k T - M k C_{1} - C_{2}}

$mkv + g = e^{- mkt - mkC_1 - C_2}$

v = \frac{e^{- M k T - M k C_{1} - C_{2}} - G}{M k}

$v = \frac{e^{- mkt - mkC_1 - C_2} - g}{mk}$

v = e^{- M k T} \times \frac{e^{- M k C_{1} - C_{1}}}{M k} - \frac{G}{M k}

$v = e^{-mkt} \times \frac{e^{-mkC_1-C_1}}{mk} - \frac{g}{mk}$

v = λ e^{- M k T} - \frac{G}{M k}

$v=\lambda e^{-mkt} - \frac{g}{mk}$ Finden

λ

$\lambda$ in Bezug auf die Startgeschwindigkeit können wir ersetzen

v_{0}

$v_0$ Und

t = 0

$t = 0$ :

v_{0} = λ e^{- M k \times 0} - \frac{G}{M k}

$v_0 = \lambda e^{-mk\times0} - \frac{g}{mk}$

λ = v_{0} + \frac{G}{M k}

$\lambda = v_0 + \frac{g}{mk}$

∴ v = v_{0} e^{- M k T} + \frac{(e^{- M k T} - 1) G}{M k}

$\therefore v = v_0e^{-mkt} + \frac{(e^{-mkt}-1)g}{mk}$ Dann habe ich integriert, um die Verschiebung zu finden:

R = \int v D T

$r = \int{v dt}$

R = \int (v_{0} e^{- M k T} + \frac{(e^{- M k T} - 1) G}{M k}) D T

$r = \int{(v_0e^{-mkt} + \frac{(e^{-mkt}-1)g}{mk})dt}$

R = - \frac{v_{0}}{M k} e^{- M k T} - \frac{e^{- M k T} G}{M^{2} k^{2}} - \frac{G}{M k} T + C

$r = -\frac{v_0}{mk}e^{-mkt} - \frac{e^{-mkt}g}{m^2k^2} - \frac{g}{mk}t + C$

R = - \frac{v_{0}}{M k} e^{- M k T} - \frac{(e^{- M k T} + M k T) G}{M^{2} k^{2}} + C

$r = -\frac{v_0}{mk}e^{-mkt} - \frac{(e^{-mkt} + mkt)g}{m^2k^2} + C$ Finden

C

$C$ in Bezug auf die anfängliche Verschiebung können wir ersetzen

r_{0}

$r_0$ Und

t = 0

$t = 0$ :

R_{0} = - \frac{v_{0}}{M k} e^{- M k \times 0} - \frac{(e^{- M k \times 0} + M k \times 0) G}{M^{2} k^{2}} + C

$r_0 = -\frac{v_0}{mk}e^{-mk\times0} - \frac{(e^{-mk\times0} + mk\times0)g}{m^2k^2} + C$

R_{0} = - \frac{v_{0}}{M k} - \frac{G}{M^{2} k^{2}} + C

$r_0 = -\frac{v_0}{mk} - \frac{g}{m^2k^2} + C$

C = R_{0} + \frac{v_{0}}{M k} + \frac{G}{M^{2} k^{2}}

$C = r_0 + \frac{v_0}{mk} + \frac{g}{m^2k^2}$ So,

R = - \frac{v_{0}}{M k} e^{- M k T} - \frac{(e^{- M k T} + M k T) G}{M^{2} k^{2}} + R_{0} + \frac{v_{0}}{M k} + \frac{G}{M^{2} k^{2}}

$r = -\frac{v_0}{mk}e^{-mkt} - \frac{(e^{-mkt} + mkt)g}{m^2k^2} + r_0 + \frac{v_0}{mk} + \frac{g}{m^2k^2}$

R = (1 - e^{- M k T}) \frac{v_{0}}{M k} - \frac{(e^{- M k T} + M k T - 1) G}{M^{2} k^{2}} + R_{0}

$r = (1-e^{-mkt})\frac{v_0}{mk} - \frac{(e^{-mkt} + mkt - 1)g}{m^2k^2} + r_0$

R = (1 - (e^{- M k T} + M k T)) \frac{G}{M^{2} k^{2}} + (1 - e^{- M k T}) \frac{v_{0}}{M k} + R_{0}

$r = (1 - (e^{-mkt} + mkt))\frac{g}{m^2k^2} + (1-e^{-mkt})\frac{v_0}{mk} + r_0$ Ich habe dann versucht, die Wurzeln für beide Gleichungen zu finden und festgestellt, dass dies zwar für die Geschwindigkeit möglich ist, die Verschiebung jedoch nicht analytisch gelöst werden kann, und als ich sie in Wolfram Alpha einfügte, kam sie mit der „Produktlogfunktion“ zurück, die aus meiner zugegebenermaßen begrenzten Untersuchung stammt scheint numerisch zu sein. Also meine Frage ist:

Ist ein analytischer Beweis, dass es länger dauert, bis ein Ball herunterkommt, nachdem er den Luftwiderstand erhöht hat, basierend auf den Bedingungen der Frage möglich?

QMechaniker

Vorschlag zur Frage (v2): Masse ersetzen

m

$m$ mit

1 / m

$1/m$ , weil ein schwererer Ball weniger vom Luftwiderstand beeinflusst wird.

JS

Das ist eigentlich ein sehr gültiger Punkt, ich weiß nicht, warum ich das nicht verstanden habe. Ich werde sie wissen lassen, aber sie werden es wahrscheinlich nur für die nächste Bewertung anpassen, nicht für diese, da dies ein auf Mathematik basierender Kurs ist, sodass es keinen großen Unterschied macht. Trotzdem danke :)

regel30

Sollten die Zeichen nicht zwischen Oben und Unten wechseln, Schwerkraft und Luftwiderstand nicht immer in die gleiche Richtung zeigen? Oder wird dies durch die Konstante erreicht?

Antworten (2)

Mathematik des vereinfachten Luftwiderstands

Vorschlag zur Frage (v2): Masse ersetzen $m$ mit $1/m$ , weil ein schwererer Ball weniger vom Luftwiderstand beeinflusst wird.
Das ist eigentlich ein sehr gültiger Punkt, ich weiß nicht, warum ich das nicht verstanden habe. Ich werde sie wissen lassen, aber sie werden es wahrscheinlich nur für die nächste Bewertung anpassen, nicht für diese, da dies ein auf Mathematik basierender Kurs ist, sodass es keinen großen Unterschied macht. Trotzdem danke :)
Sollten die Zeichen nicht zwischen Oben und Unten wechseln, Schwerkraft und Luftwiderstand nicht immer in die gleiche Richtung zeigen? Oder wird dies durch die Konstante erreicht?

Konrad Turner · Answer 1

Betrachten Sie die Gesamtenergie des Teilchens

E = \frac{M v^{2}}{2} + M G H

$E=\frac{mv^2}{2}+mgh$ Dann (vorausgesetzt

k > 0

$k>0$ ):

\dot{E} = M v \dot{v} + M G v = M v [- G - M k v + G] = - M^{2} k v < 0

$\dot{E}=mv\dot{v}+mgv=mv[-g-mkv+g]=-m^2kv<0$ Wenn also das Teilchen hochgeschleudert wird und auf eine bestimmte Höhe zurückkehrt, hat es weniger Energie als zu dem Zeitpunkt, als es zuerst dort war. Da die potentiellen Energien gleich sind, ist die Geschwindigkeit gesunken. Das heißt, es kommt langsamer herunter als es gestiegen ist, und es besteht keine Notwendigkeit, die Flugbahn zu lösen, um dies zu beweisen.

Ich habe diesen Ansatz in Betracht gezogen, aber leider basiert die Frage auf der Flugbahn. Obwohl dies über den Kurs hinausgeht und nicht Teil der Markierung ist, suche ich nach einem Beweis, der auf den Grenzen der Frage basiert. Wenn nach einer Weile keine bahnbasierte Antwort kommt, werde ich dies als Antwort markieren, da es technisch gesehen einen analytischen Beweis für alle Fälle liefert, aber es ist nicht ganz das, wonach ich suche. Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben, so oder so zu antworten :)
Die gestellte Frage sagt nichts darüber aus, dass sie auf der Flugbahn basiert. Tatsächlich liest es sich so, als ob von Ihnen erwartet wird, das erforderliche Ergebnis zu beweisen, ohne die Flugbahn zu finden.
Ja, ich verstehe, dass die Frage nichts darüber aussagt, dass sie auf der Flugbahn basiert, weshalb ich dies als Antwort anerkennen werde, wenn keine anderen kommen. Ich habe die Frage falsch formuliert, also ja, dies ist eine Antwort auf die Frage, die ich gepostet habe, nicht die, die ich beantworten musste, aber die Antwort, nach der ich suche, wäre immer noch eine korrekte Antwort auf die gepostete Frage. Während Sie also die von mir gepostete Frage beantwortet haben, haben Sie meine Frage nicht beantwortet - ohne eigenes Verschulden. Ich möchte es jedoch nicht als beantwortet markieren, da ich der Meinung bin, dass die Antwort, nach der ich suche, möglicherweise noch gepostet wird.

Floris · Answer 2

Du machst es dir ziemlich schwer.

Sie haben richtig nach der Geschwindigkeit gelöst, die die Form hat

v (T) = C_{1} e^{- a T} - \frac{G}{A}

$v(t) = c_1 e^{-\alpha t} - \frac{g}{a}$

Wo $a = mk$ Und $c_1$ wird aus den Anfangsbedingungen gefunden. Die Integration dieses Ausdrucks sollte Ihnen nur geben

X (T) = - \frac{C_{1}}{A} e^{- A T} - \frac{G T}{A}

$x(t) = -\frac{c_1}{a} e^{-at} - \frac{gt}{a}$

Ich denke, das liegt daran, dass Sie den Koeffizienten für aufgeteilt haben $c_1$ Auf die beiden Laufzeiten verteilt man sich auch $e^{-at}$ über zwei Trimester und alles wurde ein Chaos. Ich kann nicht genau sagen, wo Sie in Ihrer Mathematik falsch gelaufen sind (und wir sind ausdrücklich keine "Check my work"-Site), aber ich hoffe, das Obige bringt Sie wieder auf den richtigen Weg.

vielen Dank. Ich dachte nur, ich würde klarstellen, dass ich definitiv nicht auf der Suche nach meiner Arbeit bin, es ist nur so, dass die Regeln für das Zeigen Ihrer Arbeit sehr festgelegt zu sein schienen, also dachte ich, ich würde alles zeigen. Ich sehe auch nicht, wie dies einfacher für Null gelöst werden kann?

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