Kann jemand einen mathematischen Beweis dafür liefern, dass der NPV immer negativ ist, wenn die Rendite kleiner als der Diskontsatz ist? Das ist angenommen, dass wir haben
So wie ich es sehe, wäre die Argumentation etwa so:
NPV = -C0 + summ( Ct / (1+rd)^t )
= -C0 + summ( (r^t*C0) / (1+rd)^t )
... then some magic happens, then ...
< 0
Aber wie man von Anfang bis Ende kommt, weiß ich nicht.
Anekdotisch sehe ich es so, da r < rd und beide Zahlen mit der Zeit exponentiell schrumpfen, es niemals einen Zeitraum geben würde, in dem der zurückgegebene Cashflow größer wäre als die Rendite, die Sie durch eine Investition zum Diskontsatz rd hätten erzielen können, also NPV < 0 (und wenn auch dies eine falsche Denkweise ist, lassen Sie es mich bitte wissen).
Grundsätzlich wird nach einem Beweis gefragt, dass der NPV immer < 0 ist, wenn die Rendite der Investition für alle Zeiträume geringer als der Diskontsatz ist.
Würde einen Beweis und eine Erklärung begrüßen (oder sogar eine Erklärung, warum dies möglicherweise versucht, etwas zu beweisen, das nicht unbedingt wahr ist). Danke.
Der interne Zinsfuß ist der Wert, rdessen Wert die Gleichung erfüllt
0 = C0 + C1 / (1 + r) + C2 / (1 + r)^2 + ... + Cn / (1 + r)^n
Der Nettobarwert (NPV) ist der Wert der Summe der diskontierten Cashflows:
NPV = C0 + C1 / (1 + rd) + C2 / (1 + rd)^2 + ... + Cn / (1 + rd)^n
Da rd > r, für t = 1, ..., n, haben wir die einfachen Ungleichungen:
(1 + rd) > (1 + r)
(1 + rd)^t > (1 + r)^t
Die Umkehrung ändert die Richtung der Ungleichheit:
1 / (1 + rd)^t < 1 / (1 + r)^t
Da Geldzuflüsse negative Cashflows sind, C0 < 0. Aber vermutlich Ct > 0für alle nachfolgenden Zeiträume (dh für t = 1, ..., n). Wenn Sie also die obige Ungleichung mit einer positiven Größe multiplizieren, Ctbehält die Richtung der Ungleichung bei:
Ct / (1 + rd)^t < Ct / (1 + r)^t
Betrachten wir nun die Summe Term für Term,
0 = C0 + C1 / (1 + r) + C2 / (1 + r)^2 + ... + Cn / (1 + r)^n
> C0 + C1 / (1 + rd) + C2 / (1 + rd)^2 + ... + Cn / (1 + rd)^n = NPV
Dies zeigt, dass, wenn wir einen Cashflow (mit einer Anfangsinvestition, gefolgt von positiven Cashflows) mit einem Diskontsatz bewerten würden, der größer als die Rendite ist, der NPV negativ wäre.
Angenommen, die zweite Zeile sollte korrigiert werden zu:
NPV = -C0 + summ( Ct / (1+rd)^t ) = -C0 + summ( (r^t*C0) / (1+rd)^t )
Wir können fortfahren:
= -C0 + summ( (r/(1+rd)^t *C0 )
Was uns also interessiert, ist:
summ( (r/(1+rd))^t )
unbedingt < 1? Alle Terme in der Summe sind positiv, also ergibt sich der Maximalwert der Summe, wenn wir unendlich summieren. Da r < 1+rd ist, wissen wir, dass (r/(1+rd))< 1, also hat die Summe bis unendlich einen endlichen Wert. Genauer gesagt ist die Summe bis unendlich:
1
------------ - 1
1 - r/(1+rd)
Lassen Sie uns den oberen und unteren Teil des Bruchs mit 1+rd1 multiplizieren und erweitern
1 + rd 1 + rd - r
---------- - ----------
1 + rd - r 1 + rd - r
Vereinfachen:
r
----------
1 + rd - r
Was für mich so aussieht, als könnte es größer als 1 sein. Wenn rd == 5, r = 4, dann kommt der Ausdruck zu 4 / 2 == 2 – was impliziert, dass der NPV größer als Null ist.
Das sieht für mich so aus, als wäre es falsch (aber mit etwas Glück kann jemand auf meinen Fehler hinweisen)
Martin Bonner unterstützt Monika
-C0 + summ( (r^t*C0) / (1+rd)^t )- mit anderen Worten C0, nicht CtLampenschirmeDrifter