Mentales Bild von Interaktionen im QFT

Ich habe auch gerne "mentale Bilder" (wie du sie nennst) für abstrakte Konzepte :)

Ich werde versuchen, ein Bild mit Ihnen zu teilen, das ich im Kopf habe, wenn ich QFT-Berechnungen durchführe. Bitte ignorieren Sie diese Antwort, wenn sie Ihnen nicht weiterhilft.

Die für die interagierende QFT, die ich habe, enthält überhaupt keine Partikel. Quantenfelder stelle ich mir als fluktuierende Felder über der Raumzeit vor, über die wir in das Pfadintegral integrieren. Die Frage, die wir in diesem Ansatz beantworten möchten, ist - bei einer bestimmten Funktion von Feldern, sagen wir einem Produkt von Feldern an verschiedenen Raumzeitpunkten - was ist der Erwartungswert des Produkts? Mit anderen Worten, was ist der Wert des Pfadintegrals

Die Maßnahmen können so gewählt werden, dass

wodurch die Unendlichkeit im Normierungsfaktor verschwindet.

Ich weiß, dass Sie wahrscheinlich nach etwas mit weniger Mathematik suchen. Aber ich möchte versuchen, Sie davon zu überzeugen, dass dieses Bild unglaublich nützlich und ziemlich einfach zu handhaben ist.

In diesem Bild "verschwindet" das Feld, was Folgendes bedeutet. Die tatsächlichen Vorhersagen der Theorie, die Dinge, die wir berechnen möchten, hängen nicht davon ab$\phi(x)$überhaupt! Stattdessen sind sie darauf angewiesen$k$Raumzeit Punkte. Das fluktuierende Feld$\phi(x)$ist nützlich, um die Ergebnisse abzuleiten, trägt sie aber nicht explizit ein.

1. Der Propagator der freien Theorie und der Satz von Wick folgen fast sofort aus dem Pfadintegral. Betrachten Sie dies als Beispiel für den formalen Beweis. Ich möchte die Erwartung berücksichtigen

   $$\left< \phi(y) \right> = \int {\mathcal D}\phi e^{i S[\phi]} \phi(y).$$ Was ist, wenn ich die Dummy-Integrationsvariable um eine konstante Verschiebung von ändere?$\delta \phi(x)$? Das Maß ist formal invariant und der Wert des Integrals kann sich nicht ändern: $$0 = \delta \left< \phi(y) \right> = \int {\mathcal D}\phi \left( e^{i S[\phi]} i \delta S[\phi] \cdot \phi(y) + e^{i S[\phi]} \cdot \delta \phi(y) \right) = \left< i \delta S[\phi] \cdot \phi(y) + \delta \phi(y) \right>$$ $$= \int d^4 x \; \delta \phi(x) \; \left< i \frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi(x)} \phi(y) + \delta^{(4)} (x - y) \right>.$$ Für die freie Theorie$\delta S / \delta \phi(x) = \hat{\Theta} \phi(x)$Wo$\hat{\Theta}$ist ein linearer Differentialoperator, der die Bewegungsgleichungen erzeugt, also haben wir $$\hat{\Theta}_x \left< \phi(x) \phi(y) \right> = i \delta^{(4)} (x - y),$$ was genau das erwartete Ergebnis ist: Der Propagator der freien Theorie ist eine Green'sche Funktion des Differentialoperators, der die Bewegungsgleichungen erzeugt.

2. Feynman-Regeln folgen fast sofort aus dem Pfadintegral. Sie erweitern einfach das Exponential des Interaktionsterms in der Aktion. Von nun an können wir uns Feynman-Diagramme als Terme in der Reihe vorstellen, die das Pfadintegral annähern.

3. Die Regularisierung kann als Modifikation des Pfadintegralmaßes interpretiert werden${\mathcal D}\phi$. Es ist ziemlich praktisch, weil Sie immer noch die obige Gleichung für die endliche regularisierte Theorie haben.

4. Über den Faddeev-Popov-Trick können Sie leicht kovariante Feynman-Regeln auch für Eichtheorien ableiten.

5. Die Ward-Identitäten sind einfach abzuleiten. Die Herleitung ähnelt im Wesentlichen der aus Punkt 1, verwendet jedoch eine Dummy-Integrationsvariable, die durch Symmetrietransformationen umbenannt wird, anstelle einer konstanten Verschiebung um$\delta \phi(x)$.

6. Anomalien können als Nichtinvarianz des Pfadintegralmaßes unter Symmetrietransformationen interpretiert werden. Die anomale Ward-Identität kann über die Regularisierung der Maßnahme abgeleitet werden.

7. Der Ansatz ist explizit Lorentz-invariant und tatsächlich explizit invariant unter allen Symmetrietransformationen. Regularisierungen können diese Eigenschaft brechen, aber ich würde argumentieren, dass es bei der Regularisierung gebrochen ist und erwartet wird, dass sie nach dem Entfernen der Regularisierung von der Lorentz-Invarianz wieder auftaucht, im Pfadintegralansatz immer noch viel einfacher zu handhaben ist.

Natürlich hat dieses Bild auch Nachteile. Trotz der Tatsache, dass es in Bezug auf das fluktuierende Feld, über das wir integrieren, äußerst einfach und intuitiv zu denken ist, bietet es nicht das vollständige Bild. Beispielsweise muss der Raum der asymptotischen Zustände (Fock-Raum) unabhängig abgeleitet werden, und die Reduktionsformel sollte verwendet werden, um die Übergangsamplituden zwischen asymptotischen Zuständen in Bezug auf die Pfadintegralerwartung einiger Funktional auszudrücken.