Mikrokanonisches Ensemble, Ergodizität und Symmetriebrechung

Zunächst empfehle ich Ihnen dringend, die Abschnitte 24 und 25 von Tolmans hervorragendem Buch über statistische Mechanik zu lesen . Meine Antwort wird sich hauptsächlich an dem orientieren, was in dem Buch steht.

Die ergodische Hypothese besagt, dass ein System irgendwann in einem bestimmten Zeitintervall wird$T$Besuchen Sie alle Zustände, die mit einer bestimmten Energiebeschränkung kompatibel sind. Wie Sie sagten, impliziert dies eine Äquivalenz zwischen dem mikrokanonischen Ensemble-Durchschnitt und dem Zeitdurchschnitt.

Diese Hypothese wurde von Bolztmann und Maxwell in dem Versuch eingeführt, der statistischen Mechanik eine physikalische (nicht-statistische) Rechtfertigung zu geben. Der Grund dafür ist, dass die statistische Mechanik eine Möglichkeit bieten würde, zeitliche Durchschnittswerte von Größen zu berechnen, die wiederum mit Durchschnittswerten über viele Wiederholungen eines Experiments verknüpft sind. Wenn dann die ergodische Hypothese mit den Gesetzen der klassischen Mechanik gerechtfertigt werden könnte, müsste die statistische Mechanik kein zusätzliches Postulat (das Postulat der gleichen Wahrscheinlichkeit oder der maximalen Entropie) einführen.

Wir wissen jetzt, dass die ergodische Hypothese aus zwei Gründen fehlerhaft ist:

1. Die klassische Mechanik zeigt, dass Systeme nicht den gesamten Phasenraum entsprechend einer gegebenen Energiebedingung erforschen, sondern nur einen Teil davon. Die Trajektorien können sehr groß sein, passieren aber nicht jeden Punkt. Es gibt eine Quantenversion dieser Aussage.

Wenn wir jedoch kleine Störungen aus der Umgebung auf ein System einwirken lassen, kann so etwas wie die Ergodizität wahr werden. Diese Annahme ist realistisch, da kein System jemals vollständig isoliert werden kann. Um auf Ihr Beispiel zurückzukommen, würde ein paramagnetisches (oder nicht ferromagnetisches) Material so aussehen, als wäre es ergodisch. Es würde die meisten verfügbaren Zustände aufgrund der kleinen elektromagnetischen Störungen erkunden, die es beeinflussen. Andererseits würde ein ferromagnetisches Material niemals so aussehen, als wäre es ergodisch, da kleine Störungen den Magneten nicht dazu bringen können, seine Ausrichtung zu ändern. Sie haben also Recht: Systeme, in denen es eine große Energiebarriere zwischen Zuständen gibt, sind definitiv nicht ergodisch.

2. Auch in Fällen, in denen so etwas wie die Ergodizität gilt, der Zeitpunkt des Wiederauftretens$T$kann sehr groß sein, sogar größer als das Alter des Universums.

Schließlich orientieren sich einige Ihrer Fragen eher am Konzept der spontan gebrochenen Symmetrie. Vielleicht möchten Sie sich einige andere Antworten zu diesem speziellen Problem ansehen, zum Beispiel diese .

BEARBEITEN: Dieser Artikel enthält auch gute Erklärungen, insbesondere zur Unmöglichkeit einer starken Ergodizität.

Er [Boltzmann] stellte die so genannte ergodische Hypothese auf, die postulierte, dass das mechanische System, sagen wir für die Gasdynamik, ausgehend von jedem Punkt unter der Zeitentwicklung Pt schließlich jeden Zustand auf der Energieoberfläche durchlaufen würde. Maxwell und seine Anhänger in England nannten dieses Konzept die Kontinuität des Pfades (3). Es ist klar, dass unter dieser Annahme Zeitmittelwerte gleich Phasenmittelwerten sind, aber es ist uns heute ebenso klar, dass ein System nur dann in diesem Sinne ergodisch sein könnte, wenn der Phasenraum eindimensional wäre. Plancherel (14) und Rosenthal (15) veröffentlichten Beweise dafür, und zuvor hatte Poincare (16) Zweifel an Boltzmanns ergodischer Hypothese geäußert.

So wie ich das sehe, hängen Ihre Fragen eng zusammen. Stellen Sie sich ein System bei hoher Temperatur vor, das schnell einen Großteil seines Phasenraums erkundet. Man könnte sagen, dass die ergodische Hypothese in dieser Situation richtig ist. Dann fängt man an, die Temperatur und die Energie zu reduzieren, und es kann passieren, dass es bei niedrigen Energien im Phasenraum zwei Bereiche mit der gleichen Energie gibt, die aber weit voneinander entfernt sind. Dann wird das sich chaotisch bewegende System bei Unterschreiten einer bestimmten Temperatur in einer dieser Regionen gefangen. Dies könnte als Phasenübergang angesehen werden und die ergodische Hypothese wäre im naiven Sinne nicht wahr (weil nicht alle Mikrozustände mit gegebener Energie gleich wahrscheinlich wären, sondern nur diejenigen in der verbundenen Komponente, die "ausgewählt" wurde).

Wie alles andere in der Physik ist ein mikrokanonisches Ensemble eine Idealisierung, die nützlich ist, um loszulegen und eine gewisse Intuition aufzubauen.

Auch die klassische Physik, wo Ergodizität für hinreichend einfache Systeme herangezogen werden kann, ist eine Idealisierung. In der Quantenmechanik, der genaueren Theorie, hat der Begriff der Ergodizität nicht einmal einen Platz.

Sie haben also Recht - es gibt keine mikrokanonischen Systeme. Im Gleichgewicht sind die typischen Systeme großkanonisch.

(Hinweis: Ich habe einen Hintergrund zu kondensierter Materie, daher würde ich hauptsächlich CMT-Terminologien verwenden - glücklicherweise gehört das FM-Beispiel, das Sie gegeben haben, zum CMT-Bereich.)

Sie haben mehrere Fragen, die versuchen, die folgenden Themen in Beziehung zu setzen: mikrokanonisches Ensemble, Ergodizität, spontane Symmetriebrechung und sogar die Laudau-Phasenübergangstheorie. Es ist zu kompliziert, sie alle zu klären – ich werde mein Bestes geben, und es bedarf eindeutig weiterer Diskussionen im Kommentarbereich, um einen endgültigen Konsens zu erzielen …

Zunächst einmal sind einige Ihrer Fragen nicht wirklich genau definiert, zB beschreibt Laudaus Theorie symmetriebrechende Phänomene, die ein Übergang zweiter Ordnung sein könnten, wenn die endgültige Symmetriegruppe eine Untergruppe der ursprünglichen Gruppe ist. Ich denke (nicht ganz sicher), dass Sie den Phasenübergang in Echtzeit mit der Systementwicklung in Beziehung setzen, was dann mit der Ergodizität zusammenzuhängen scheint. Landaus Übergangstheorie hat jedoch nichts mit Evolution zu tun, sondern ist nur eine phänomenologische Beschreibung der beiden Seiten des Phasenübergangs, die das System durch einen von Hand eingeführten (aber messbaren) Ordnungsparameter charakterisiert, was eine statische Sichtweise ist immer das System beschreiben, nachdem das Gleichgewicht erreicht ist. Für einen kontinuierlichen Übergang zweiter Ordnung gilt: Solange die endgültige Symmetriegruppe die ursprüngliche Gruppe enthält oder in ihr enthalten ist, funktioniert Landaus Theorie immer. (Heute wissen wir, dass es einige exotische Beispiele gibt, z. B. deconfined quantenkritischer Punkt, topologische Ordnung usw.)

Gehen Sie außerdem auf das von Ihnen erwähnte FM-Beispiel zurück. Hier geht es um das spontane Symmetriebrechen (SSB), das viel kniffliger ist: Um ein SSB zu haben, muss das System keinen bestimmten Konfigurationssatz auswählen, in dem sich das klassische Bild befindet Dein Verstand; während Sie quantenmechanisch selbst in einem Überlagerungszustand immer noch die nicht-diagonale Fernordnung bestimmter lokaler Ordnungsparameter erkennen könnten, um festzustellen, ob es ein SSB gibt oder nicht. Genauer gesagt, wenn Sie sich im FM-Fall den ursprünglichen Heissenberg-Hamiltonian nach der Blockdiagonalisierung ansehen, muss der effektive Hamiltonian in der Grundzustands-Mannigfaltigkeit eine Identitätsmatrix multipliziert mit einem konstanten Energiewert sein - dies bestätigt Ihre Annahme, dass das System so wäre aufgrund einiger externer Störungen oder Ihrer Messung, sagen wir, in eine bestimmte Richtung gepinnt$S_z$Komponente, dann könnte die Zeitentwicklung dieses linearen Quantensystems niemals in andere Richtungen gehen, da es im Hamiltonschen überhaupt keinen nichtdiagonalen Term gibt -- denken Sie daran, "aufgrund von etwas" bedeutet, dass Sie theoretisch wirklich einen Überlagerungszustand ohne haben könnten "klassisches SSB (dh Gesamtmagnetisierung, die eine Richtung wählt)", wenn überhaupt keine Störungen vorhanden sind. Dieser Überlagerungszustand ist jedoch immer noch kein "mikrokanonisches System", da es sich um einen reinen Zustand handelt und die lineare Evolutionsnatur von QM seinen Weg verbietet, der die gesamte Grundzustands-Mannigfaltigkeit abdeckt, was ich im folgenden Abschnitt im Detail erkläre. Aber die Grundidee meiner obigen Erklärung besteht darin, klarzustellen, dass SSB kein geeignetes Beispiel ist, um die Ergodizität zu verstehen.

Zweitens, wenn es ein, in Ihren Worten, „mikrokanonisches System“ gibt? Nun, aus statistischer Sicht sollte ein Ensemble aus unendlich vielen Systemen bestehen. Es gibt überhaupt nichts namens "mikrokanonisches System"! In die statistische Physik wird nur das "mikrokanonische Ensemble" eingeführt. Zum Beispiel für eine bestimmte Energie$E_0$Es gibt mehrere degenerierte Zustände, dann könnte ich mehrere Kopien des Systems machen, die sie zwingen, die Annahme der Gleichverteilung zu erfüllen, dann bilden sie zusammen direkt ein Ensemble. Sie brauchen sich also keine Gedanken darüber zu machen, ob es ein Ensemble gibt; Vielmehr sollten Sie sich fragen, ob der Ensemble-Ansatz für ein einzelnes System gültig ist oder nicht. Genauer gesagt, ich denke, was Sie fragen wollen, ist: ob es ein einzelnes System (isoliert) gibt, dessen Zeitmittel durch einen Ensemblemittelwert angenähert werden kann, dh dort gilt die Ergodizitätshypothese. Kurze Antwort (für ein isoliertes System): klassisch möglich, quantenmechanisch nicht möglich. Klassischerweise findet man das berühmte Beispiel freier Teilchen in einem Kästchen ungleicher Länge. Aber für ein Quantensystem ist die Entwicklung linear:$|\Psi(t)\rangle = \sum_i\lambda_ie^{iE_it}|\psi_i\rangle$Wo$E_i$ist die Eigenenergie des Hamiltonoperators – das ist eindeutig nicht ergodisch. Im Extremfall könnte man einfach einen Eigenzustand bei machen$t=0$, dann würde es niemals in andere entartete Zustände gehen. Daher ist Ergodizität zumindest für einen Eigenzustand eines isolierten Systems unmöglich. Daher müssen Sie Dinge wie "Energiebarriere" überhaupt nicht berücksichtigen, wenn das System wirklich isoliert ist.

Aber bedeutet das, dass die traditionelle Ensemble-Perspektive völlig nutzlos ist, sogar kanonische Ensembles und großkanonische Ensembles, die von der mikrokanonischen abgeleitet sind, einschließen? Nicht wirklich. Aus moderner Sicht gibt es jedoch einige knifflige Themen, z. B. Eigenzustands-Thermalisierungshypothese (ETH), Quantenchaos (wahrscheinlich ... Ich kenne mich mit Chaos überhaupt nicht aus, also überspringe ich es, und du kannst jemand anderen fragen). Ich weiß nicht viel, aber die ETH bietet eine Möglichkeit, dass Sie für ein Subsystem eines isolierten immer noch kanonische Ensembles zur Analyse verwenden könnten (aber diese Hypothese würde in einigen Fällen verletzt werden, bezogen auf ein sehr heißes Thema: viele- Körperlokalisierung).

Zwei weitere Dinge, die über Ergodizität und Ensemble-Perspektive zu erwähnen sind:

(1) In der realen Welt gibt es in Experimenten nichts Isoliertes – hier spielt die Energiebarriere eine Rolle, da externe Störungen das System nur dann in ein „statistisches Gleichgewicht“ bringen könnten, wenn die Barriere nicht zu groß ist.

(2) Selbst wenn Sie etwas Isoliertes idealisieren, ist die Art und Weise, wie Sie es theoretisch modellieren, immer nicht vollständig genug: Es gibt immer einige interne Interaktionsmechanismen, die von uns vernachlässigt werden. Um die theoretische Vorhersage eines Experiments zu untersuchen, kann daher in vielen Fällen immer noch die traditionelle Ensemble-Perspektive angewendet werden.

Der Symmetriebruch in ferromagnetischen Materialien unterhalb der Curie-Temperatur könnte aufgrund einiger mikroskopischer Wechselwirkungen mit etwas stattfinden, das in unserer Beschreibung vernachlässigt wird?

Nein nicht wirklich. Sie haben einen spontanen Symmetriebruch im Ising-Modell$d>1$ohne die Notwendigkeit eines zusätzlichen Wechselwirkungsterms im Hamiltonoperator.

Entsprechend könnte diese Frage umformuliert werden als: Gibt es tatsächlich mikrokanonische Systeme?

Was meinst du genau mit "mikrokanonisches System"?

Wenn Sie ein System mit fester Energie und Teilchenzahl meinen, dann ist dies natürlich, wie alles in der Physik, eine Idealisierung, da kein System in der Praxis jemals perfekt isoliert werden kann.

Das Adjektiv "mikrokanonisch" wird jedoch häufiger auf das mikrokanonische Ensemble bezogen . Ein Ensemble ist eine ideale unendliche Sammlung von Kopien eines Systems, die sich zu einem bestimmten Zeitpunkt in ihrem Mikrozustand unterscheiden. Ein mikrokanonisches Ensemble ist ein Ensemble von Systemen mit der gleichen Energie$E$, Teilchenzahl$N$und Volumen$V$.

In dieser Bedeutung ist das Konzept des „mikrokanonischen Ensembles“ natürlich eine Idealisierung, denn wir werden niemals Zugang zu einer unendlichen Anzahl von Kopien desselben Systems haben. Die Nützlichkeit des Konzepts „Ensemble“ liegt genau in der ergodischen Hypothese, die besagt, dass die Mittelung dieses idealen Ensembles (das in der Praxis nicht existiert) gleichbedeutend mit der Mittelung der Zeit ist, wenn das Zeitintervall, über das Sie die nehmen Durchschnitt ist "lang genug". Die ergodische Hypothese ist also, wenn wir den "Ensemble"-Ansatz verwenden, die Kernhypothese, auf der die gesamte statistische Mechanik aufgebaut ist (1).

Es gibt mehrere Probleme in der ergodischen Hypothese, das erste ist "lang genug": Manchmal kann die Relaxationszeit eines Systems extrem lang sein, länger als jede Zeitskala, die ein Mensch möglicherweise messen kann. Bei solchen Systemen können wir nicht einmal sagen, ob die Ergodizität wirklich gebrochen ist oder ob die Zeit, die wir warten müssen, bis das System thermisch wird, einfach zu groß ist, um von uns gemessen zu werden.

Kann die Gültigkeit der ergodischen Hypothese mit der Höhe der Energiebarriere zwischen erlaubten mikroskopischen Konfigurationen zusammenhängen?

Absolut. Genau das passiert bei einem Glas: Wenn eine Flüssigkeit schnell genug abgekühlt wird, kann sie nicht kristallisieren und gerät in einen metastabilen Zustand, der bei dieser Temperatur nicht der wahre Grundzustand ist (der Kristall). Die Zeit, die das System warten muss, um aus diesem metastabilen Zustand zu entkommen, ist ungefähr proportional zu$\exp(\beta \Delta F)$, Wo$\Delta F$ist die Höhe der Freie-Energie-Barriere, die das System überwinden muss. Die Relaxationszeit steigt also exponentiell mit der Höhe der Barriere; Wenn diese Zeit größer ist als jede Zeit, die wir möglicherweise messen können, sagen wir, dass die Ergodizität gebrochen ist .

Ich möchte jedoch betonen, dass wir eigentlich sagen, dass die Ergodizität gebrochen ist ... für uns : Wenn wir lange genug warten, wird das System schließlich aus diesem metastabilen Zustand ausbrechen und seinen wahren Grundzustand erreichen . Es gibt tatsächlich ein Theorem, das sogenannte Poincaré-Rekursionstheorem , das besagt, dass, wenn ein System Energie und Volumen begrenzt hat, fast jeder Anfangszustand während seiner dynamischen Entwicklung unendlich oft besucht wird ("fast alle" bedeutet, dass dies der Fall ist eine diskrete Menge von Anfangszuständen sein, die den Satz verletzen können). Die Wiederholungszeit nimmt jedoch exponentiell mit der Größe des Systems zu, und da ein typisches reales System so etwas wie enthält$10^{23}$Teilchen erhalten wir Wiederholungszeiten, die völlig außerhalb der Domäne der Physik liegen (das Alter des Universums ist ein "bloßes"$10^{17}$Sekunden).

Nehmen wir als Beispiel Ihren Ferromagneten und genauer gesagt die Beschreibung des Ising-Modells. Es gibt zwei mögliche Grundzustände: den All-Spins-Up-Zustand und den All-Spins-Down-Zustand. Um von einem Grundzustand in den anderen zu wechseln, müssen Sie die Hälfte der Spins plus einen umdrehen, und die andere Hälfte folgt sofort; die mit diesem Vorgang verbundenen Energiekosten sind daher proportional zu$N/2+1$, Wo$N$ist die Größe Ihres Systems (die Anzahl der Spins). Daher die Zeit$\tau$Sie müssen auf eine Schwankung warten, damit Ihr System ungefähr so ​​​​von einem Grundzustand zu den anderen Skalen springt$\tau \propto \exp(\beta \epsilon N)$, Wo$\epsilon$ist etwas Energie. Das bedeutet, wenn$N$ist "groß genug"$\tau$wird länger sein als das Alter des Universums und daher wird das System für jeden praktischen Zweck eine gebrochene Ergodizität haben.

(1) Es ist tatsächlich möglich, von schwächeren Aussagen ausgehend die statistische Mechanik zu begründen, aber das ist eine andere Sache. Schauen Sie sich zum Beispiel das erste Kapitel von Landaus Buch (Statistische Physik) oder diese Fragen und Antworten an .