Mittelung der Induktorwellenformen

Die Notation ist ziemlich verwirrend, aber nach dem Studium der Folien lautet meine Interpretation:

dist der Bruchteil der "Ein"-Zeit während des Zyklus. d'ist der Bruchteil der Auszeit während des Zyklus. Im Durchschnitt über den Zyklus wird V _L für einen Bruchteil der Zeit ungefähr gleich der Eingangsspannung V _G und für einen Bruchteil der Zeit dungefähr gleich der Ausgangsspannung V sein . d'Die durchschnittliche Spannung ist also d*V _G + d'*V.

Da alles eine Funktion der Zeit ist (die sich hoffentlich langsam ändert), werden V _G und V durch Mittelwerte über den Zyklus ersetzt. Und dund werden durch und d'ersetzt . (Auf diese Weise behält das Modell die niederfrequenten Komponenten bei und entfernt die hochfrequenten Komponenten.) Dies ergibt die rechte Seite der betrachteten Gleichung. Da sich diese im Laufe eines Zyklus sehr geringfügig ändern, handelt es sich nicht um exakte Gleichheit, sondern um ungefähre Gleichheit, sodass das Symbol ≈ verwendet wird.d(t)d'(t)

Beachten Sie, dass in den Integralen dfür seine differentielle Bedeutung verwendet wird, während in den anderen Gleichungen dder PWM-Anteil angegeben wird, was das Verständnis erschwert. Und d'ist nicht die Ableitung von daber 1-d.

Bearbeiten, um einen Teil der Kommentardiskussion aufzunehmen:

Betrachten Sie ein reales Beispiel wie eine Stromversorgung, bei der die Eingangsspannung Vg(t) 170 V + 60 Hz Welligkeit + 30 kHz Schaltwelligkeit beträgt. Sie können dies vereinfachen, indem Sie Vg konstant auf 170 V setzen (was Kapitel 2 tut). Oder Sie können eine realistischere Vereinfachung vornehmen, indem Sie die Welligkeit mitteln und Vg(t) = 170 V + 60 Hz Welligkeit erhalten (was Kapitel 7 tut).

Ein kniffliger Teil ist, dass Sie bei der Annäherung des Integrals in der ursprünglichen Frage davon ausgehen, dass Vg (t) über den Schaltzeitraum ungefähr konstant ist. Aber nach diesem Punkt in der Analyse behandeln Sie die gleitenden Durchschnitte als Funktionen von t, nicht als Konstanten.

Wie wäre es damit:

Beachten Sie, dass die Schreibweise des Ergebnisses geringfügig variiert.

Bearbeiten Sie zur Klarstellung und zum weiteren Punkt:

Aus den obigen Gleichungen erhalten wir:

$$\begin{equation} \ <v_{L}(t) > _{T_{s}} = <v_{g}(t) > _{T_{s}} + <v(t) > _{T_{s}} \end{equation}$$

Diese Gleichung impliziert, dass die Inhalte für die gesamte Periode kontinuierlich sind. Darin sind sich jetzt alle einig, oder? Wir setzen die Gleichung weiter fort und erhalten:

$$\begin{equation} \ <v_{g}(t) > _{T_{s}} = d(t) <v_{g}(t) > _{dT_{s}} + d'(t) <v_{g}(t) > _{d'T_{s}} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \ <v(t) > _{T_{s}} = d(t) <v(t) > _{dT_{s}} + d'(t) <v(t) > _{d'T_{s}} \end{equation}$$

aber (wie in der Grafik zu sehen ist) haben wir Folgendes angenommen:

$$\begin{equation} \ v_{g}(t) = 0 \ (d<t<T_{s}) \\ \ v(t) = 0 \ (0<t<d) \end{equation}$$

Daher,

$$\begin{equation} \ <v_{g}(t) > _{T_{s}} = d(t) <v_{g}(t) > _{dT_{s}} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \ <v(t) > _{T_{s}} = d'(t) <v(t) > _{d'T_{s}} \end{equation}$$

Das ist sinnvoll, weil:

$$\begin{equation} \ \frac{d(t)}{T_{s}} < 1 \end{equation}$$

$$\begin{equation} \ \frac{d'(t)}{T_{s}} < 1 \end{equation}$$

Der Durchschnitt dieser Signale, die über eine längere Zeit innerhalb von Ts aufgenommen wurden, würde fallen, weil sie Null sind. Der maximale Mittelwert tritt innerhalb der Zonen auf, in denen sie nicht Null sind.

Was wir also letztendlich bekommen, ist:

$$\begin{equation} \ <v_{L}(t) > _{T_{s}} = d(t) <v_{g}(t) > _{dT_{s}} + d'(t) <v(t) > _{d'T_{s}} \end{equation}$$

Welches ist nicht das Ergebnis, das in den Folien gefunden wurde, aber ich bin mir nicht sicher, wo ich einen Fehler in der Mathematik gemacht habe ... Vielleicht haben die Folien nur einen kleinen Fehler in der Notation? (Es passiert)

Ich bevorzuge die Analyse mit der Energiespeicherfunktion E = 1/2LI ^ 2, wobei V1 * dt1 = V2 * dt2 [Voltsekunde] im kontinuierlichen Modus.

Vielleicht erklärt es das Buch besser ,

Es fiel mir auch schwer, seiner Notation zu folgen.

Sie konzentrieren sich auf die Mathematik, anstatt zu erkennen, warum die Mathematik funktionieren muss.

Für jeden Umschalter, der im kontinuierlichen Modus arbeitet, muss der Bereich des EIN-Zyklus gleich dem AUS-Zyklus sein. Die Fläche des gelben Rechtecks ​​muss der des orangefarbenen Rechtecks ​​entsprechen, damit sich der Umschalter im stationären Modus befindet.

Während der EIN-Zeit kommt Strom von der Quelle, aber während der AUS-Zeit kommt Strom von der Induktivität, die die Diode in Vorwärtsrichtung vorspannt.$I_{MAX}$Und$I_{MIN}$treffen müssen oder sich die Kondensatorspannung ändert. Aus diesem Grund benötigen Umschalter einen Mindeststrom.

Wikipedia - Buck-Konverter

Aus diesem Bild ist es wichtig zu beachten, dass < v_g(t) > die gepunktete Linie ist, nicht diejenige, die eine Steigung hat. Sie berechnen den Durchschnitt der Induktorspannung über einen Schaltzyklus. Obwohl sich die Durchschnittswerte zeitlich ändern, ist der durch < v_g(t) > notierte Durchschnitt für einen bestimmten Zeitraum konstant, da er so definiert ist.

Mit anderen Worten, Sie haben Notationen vermasselt. In dem eigenhändig erstellten Integral hätten Sie nicht die Überschaltzyklusmittelwerte < v_g(tau) > und < v(tau) > verwenden sollen, sondern einfach nur v_g(tau) und v(tau). Das liegt daran, dass Sie die Durchschnittswerte für diesen Zeitraum noch nicht kennen, sondern sie nur berechnen. Sie sind als Antwort dieser Zeitintegrale definiert. < v_g(t) > für die Einschaltzeit und < v(t) > für die Ausschaltzeit.

Auch dann funktioniert das von Ihnen abgeleitete Interal nur, wenn es vom Beginn des Schaltzyklus an berechnet wird, aber die Gleichung links davon funktioniert immer, aber das wussten Sie natürlich und haben es der Einfachheit halber nur vom Beginn des Schaltzyklus aus berechnet.

Definition:

$$\begin{align} d(\tau) &= 1\text{ for } t\leq \tau \leq t+dT_z\\ &= 0 \text{ for } t+dT_s < \tau \leq t+T_s \end{align}$$

Und

$$\begin{align} d'(\tau) &= 0\text{ for } t\leq \tau \leq t+dT_z\\ &= 1 \text{ for } t+dT_s < \tau \leq t+T_s \end{align}$$

Dann

$$\begin{align} \left< v_L(t)\right>_{T_s}&= \frac{1}{T_s}\int_t^{t+T_s}v_L(\tau)d\tau =\\ &= \frac{1}{T_s} \left[1 \times\int_t^{t+dT_s} v_g(\tau)d\tau +0\times\int_{t+dT_s}^{t+T_s} v_g(\tau)d\tau+\\ + 0 \times\int_t^{t+dT_s} v(\tau)d\tau +1\times\int_{t+dT_s}^{t+T_s} v(\tau)d\tau \right] \end{align}$$ Die Umkehrung des Verteilungsgesetzes anwenden und das wissen $$\int_t^{t+dT_s} x(\tau)d\tau + \int_{t+dT_s}^{t+T_s} x(\tau)d\tau = \int_t^{t+T_s} x(\tau)d\tau$$ Dann, $$\begin{align} \left< v_L(t)\right>_{T_s}&= \frac{1}{T_s}\left[d(\tau)\times\int_t^{t+T_s}v_g(\tau)d\tau+d'(\tau)\int_t^{t+T_s}v(\tau)d\tau \right]\\ &=d(\tau)\times\frac{1}{T_s}\int_t^{t+T_s}v_g(\tau)d\tau+d'(\tau)\times\frac{1}{T_s}\int_t^{t+T_s}v(\tau)d\tau\\ &= d(\tau)\times\left< v_g(t)\right>_{T_s}+d'(\tau)\times\left< v(t)\right>_{T_s} \end{align}$$ wodurch das erwartete Ergebnis erhalten wird.