Momente vibrierender Saite

Sie müssen lediglich ein paar Zustandsvariablen definieren. Hier ist das Standardrezept der Kontrolltheorie, das Sie in Schwung bringen sollte:

Lassen$x_1(t) = x(t)$Und$x_2(t) = \dot{x_1}(t)$. Dann wird Ihre schwingende Saitengleichung$M \mathrm{d}_t x_2(t) + C x_2(t) + K x_1(t) = b(t)$. Das ist:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\,t} \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0&1\\-\frac{K}{M}&-\frac{C}{M}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right) +\left(\begin{array}{c}0\\\frac{1}{M}\end{array}\right) b(t)$$

und, wenn Sie etwas über das Verhalten von erfahren möchten$x(t)$als Antwort auf$b(t)$( d.h. denke an$x(t)$als Ausgang,$b(t)$als Eingabe), definieren Sie Ihre Ausgabegleichung wie folgt:

$$y = (1,\,0)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)$$

Also jetzt, in der Standardschreibweise der Kontrolltheorie Ihrer ersten Gleichung:

$$\dot{\vec{x}} = \mathbf{A} \vec{x} + \mathbf{B}\,\vec{u};\quad\vec{y} = \mathbf{C}\vec{x}$$

Sie können nun folgende Identifikationen vornehmen:

$$\mathbf{A} =\left(\begin{array}{cc}0&1\\-\frac{K}{M}&-\frac{C}{M}\end{array}\right)$$ $$\mathbf{B} = \left(\begin{array}{c}0\\\frac{1}{M}\end{array}\right)$$ $$\mathbf{C} = (1,\,0)$$ $$y(t) = x_1(t);\quad u(t) = b(t)$$

und jetzt sollte es losgehen. Die Übertragungsfunktion der Laplace-Transformation ist dann, wie Sie sagen,$\mathbf{C}(s\mathbf{I}-\mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}$, was für Ihr SISO-System (Single Input, Single Output) eine einfache skalare Übertragungsfunktion ist. Der Frequenzgang ist natürlich durch Putten gegeben$s=i\,\omega$, Wo$\omega$ist die Eigenfrequenz. Die Eigenfrequenzen des Systems sind die Eigenwerte von$\mathbf{A}$.