N=1N=1{\cal N}=1 vs. N=2N=2{\cal N}=2 Supermultiplets

Es gibt keine chiralen Multipletts in der$N=2$,$d=4$Supersymmetrie.

Um diese Behauptung zu verdeutlichen, muss man zwei Bedeutungen des Wortes „chiral“ unterscheiden. Einer von ihnen ist allgemeiner – jedes Feld oder jede Interaktion, die links-rechts-asymmetrisch ist. Aber es gibt noch eine spezifischere Bedeutung in der Supersymmetrie: Ein „chirales Supermultiplet“ ist ein bestimmtes Supermultiplet, das einen komplexen Skalar und ein Majorana- oder Weyl-Fermion enthält – in gewissem Sinne zwei echte bosonische und zwei echte fermionische Polarisationen. Dies steht im Gegensatz zum "Vektor-Supermultiplet" und vielleicht anderen.

Ein chirales Feld ist eines, das nur von abhängt$\theta^\alpha$aber nicht ihre komplexen Konjugate$\bar\theta^\alpha$:

$$\phi\equiv \phi (x^\mu, \theta^\alpha)$$ In der Taylor-Zerlegung über die fermionischen Koordinaten findet man heraus, dass dies die komplexe Skalarboson-Komponente und ein Weyl-Fermion (das besser als Majorana-Fermion umformuliert wird, wenn das Feld völlig neutral ist und die Schwingungen zwischen Materie und Antimaterie zulässt) beinhaltet. Auf jeden Fall ist das Weyl- oder Majorana-Fermion 1/2 eines Dirac-Felds und das volle Dirac-Feld wird für eine links-rechts-symmetrische Theorie benötigt, sodass der fermionische Inhalt des chiralen Multipletts im anderen Sinne chiral ist.

Das Vektor-Supermultiplet enthält zwei Querpolarisationen eines Eichbosons (wie ein Photon) und seines Majorana-Superpartners; wenn es geladen ist, wie das W-Boson-Vektor-Supermultiplet, verbinden sich die beiden Weyl-Fermionen aus den entgegengesetzt geladenen Zuständen zu einem Dirac-Teilchen.

In$N=2$Supersymmetrie enthält auch ein Vektor-Supermultiplet – das sich als Vektor plus chirales Multiplett unter zerlegt$N=1$Subalgebra – und ein Hypermultiplet – das sich in zwei chirale Multipletts zerlegt. Der fermionische Anteil des Hypermultiplets (zwei Weyl-Spinoren) verbindet sich jedoch zu einem im alten Sinne nicht-chiralen Dirac-Spinor. Also die$N=2$Materiemultiplett – das Hypermultiplett – ist nicht-chiral.

Bis zu einem gewissen Grad könnten wir sagen, dass die$N=2$Vektormultiplett ist chiral. Allerdings sind die Quantenzahlen dieser Teilchen bestimmt – sie müssen sich als Adjunkte der Eichgruppe umwandeln (genau wie die Eichbosonen) – also taugen sie nichts für die Quarks und Leptonen. Darüber hinaus kann der fermionische Anteil auch zu einem Dirac-Spinor kombiniert werden.

Das Minimale$N=1$SUSY ist sozusagen das Maximum, das Chiralität zulässt, da dieser niedrige SUSY-Grad Multipletts mit einer sehr kleinen Anzahl von fermionischen Freiheitsgraden zulässt, kleiner als ein Dirac-Spinor, die chiral sind. Alle größeren Supersymmetrien implizieren, dass der fermionische Inhalt immer in vollen Dirac-Spinoren vorliegt und daher nicht-chiral ist. Also zumindest auf der Ebene der Feldtheorie,$N=1$SUSY ist das Maximum, um realistische Modelle zu erstellen. Allerdings muss man darauf hinweisen, dass dies für Quarks und Leptonen gilt; Der Teilbereich der Eichbosonen der Physik kann vor allem eine größere Bedeutung haben$N=2$, Supersymmetrie.