Nachweis der Äquivalenz der potentiellen Energie eines Ladungssystems und der Arbeit, die zum Aufbau eines Ladungssystems erforderlich ist

Hinweis:

Der Divergenzsatz sagt uns, dass die Divergenz eines Vektorfeldes über eine Region integriert wird$R$mit Grenze$\partial R$ist gleich dem Integral dieses Vektorfeldes, das mit der nach außen zeigenden Normalen entlang der Grenze gepunktet ist;

$$\begin{align} \int_R dV\, \nabla\cdot \mathbf v=\int_{\partial R} dS\, \mathbf v\cdot\mathbf n. \end{align}$$ Wenn wir über den ganzen Raum integrieren, dann ist dies wie die Integration über das Innere einer Kugel, aber in der Grenze, dass diese Kugel unendlich groß ist. Also haben wir $$\begin{align} \int_{\mathbb R^3} dV\, \nabla\cdot\mathbf v = \lim_{r\to\infty}\int_{B_r}dV\,\nabla\cdot \mathbf v = \lim_{r\to\infty} \int_{S_r}dS \,\mathbf v\cdot \mathbf n \end{align}$$ Wo $B_r$bezeichnet die geschlossene Kugel mit Radius $r$(nämlich das Innere einer Kugel mit Radius $r$zusammen mit seiner Grenze) und $S_r$bezeichnet die Sphäre des Radius $r$. Nun, auf der Oberfläche einer Kugel mit Radius $r$, das Flächenelement und die nach außen zeigende Normale sind $$\begin{align} dS = r^2\sin\theta d\theta d\phi, \qquad \mathbf n = \hat{\mathbf r}, \end{align}$$ also bekommen wir $$\begin{align} \int_{\mathbb R^3} dV\, \nabla\cdot\mathbf v = \lim_{r\to\infty} \int_{S_r} d\theta\,d\phi\,\sin\theta\,r^2 v_r \end{align}$$ Wenn $v_r$nimmt ausreichend schnell mit ab $r$, dann ist der Ausdruck auf der rechten Seite Null. Mit anderen Worten, wir haben das gefunden

Vorausgesetzt, die radiale Komponente eines Vektorfeldes fällt hinreichend schnell mit ab$r$, verschwindet das Integral der Divergenz des Vektorfeldes über den ganzen Raum.

Versuchen Sie, diese Tatsache zusammen mit Dingen zu nutzen, die Sie darüber wissen, wie sich das elektrische Feld einer endlichen Ladungsverteilung sehr weit von der Verteilung entfernt verhält.