Frage zur Lösung von Griffiths "Einführung in die Elektrodynamik", Vierte Auflage, Problem 4.13 [geschlossen]

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Frage zur Lösung von Griffiths "Einführung in die Elektrodynamik", Vierte Auflage, Problem 4.13 [geschlossen]

Schrödingers Katze

Ich löste das folgende Problem aus Griffiths Einführung in die Elektrodynamik, 4. ^Auflage :

Q. $4.13$ : Ein sehr langer Zylinder mit Radius $a$ trägt eine einheitliche Polarisation $P$ senkrecht zur Achse. Finden Sie das elektrische Feld innerhalb und außerhalb des Zylinders.

Mein Versuch :

Seit $P$ ist einheitlich, also $\rho_b=0$ Und $\sigma_b=\vec P\cdot \hat n=\vec P\cdot \hat s=P \cos \theta$

Nun betrachten wir 2 Gaußsche Zylinder der Länge $a$ und Radius $r$ , $r<a$ im Zylinder $1$ Und $r>a$ im Zylinder $2$ .

Anwendung des Gauß'schen Gesetzes, z $r<a$ ,

\begin{aligned} \vec{E} \cdot D \vec{A} = \oint \frac{1}{ϵ_{0}} Q_{enc} & = \frac{1}{ϵ_{0}} \int_{v} ρ_{B} D v = 0 \\ ⟹ \vec{E} & = \vec{0} \end{aligned}

$\begin{align}\vec E\cdot {\mathrm d\vec A}=\oint \frac{1}{\epsilon_0}Q_\textrm{enc} &=\frac{1}{\epsilon_0} \int_V \rho_b \,\, ~\mathrm dV=0\\ \implies \vec E &=\vec 0\end{align}$

Anwendung des Gauß'schen Gesetzes, z $r<a$ ,

\begin{aligned} \vec{E} \cdot D \vec{A} = \oint \frac{1}{ϵ_{0}} Q_{enc} & = \frac{1}{ϵ_{0}} (\int_{v} ρ_{B} D v + \int_{S} σ_{B} D A) \\ ⟹ E \cdot 2 π R l & = \frac{1}{ϵ_{0}} (0 + P \cos θ \cdot 2 π A l) \\ ⟹ \vec{E} & = \frac{P A \cos θ}{ϵ_{0} R} \hat{S} \end{aligned}

$\begin{align}\vec E\cdot {\mathrm d\vec A}=\oint \frac{1}{\epsilon_0}Q_\textrm{enc} &=\frac{1}{\epsilon_0} \left(\int_V\rho_b \,\,~\mathrm dV + \int_S \sigma_b ~\mathrm dA\right)\\ \implies E\cdot 2\pi rl &=\frac{1}{\epsilon_0} (0 + P \cos \theta \cdot 2\pi a l)\\ \implies~~~~~~~~~~ \vec E &=\frac{Pa\cos \theta}{\epsilon_0r} \hat s \end{align}$

Aber Griffith bietet eine andere Lösung an, die sich völlig von meiner unterscheidet, die ich überhaupt nicht verstehen kann.

Kann mir jemand erklären, warum ich falsch liege oder ob ich überhaupt falsch liege?

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Student · Answer 1

Zunächst einmal denke ich, dass Sie ein Problem mit Ihrer Notation haben. Das Gaußsche Gesetz sollte lauten

\int_{\partial v} \vec{E} \cdot D \vec{S} = \frac{Q_{enc}}{ϵ_{0}},

$\int_{\partial V} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_{0}},$ wo die beigefügte Ladung geschrieben werden kann als

Q_{enc} = \int_{v} ρ ({\vec{R}}^{'}) D v^{'} .

$q_{\text{enc}} = \int_{V}\rho(\vec{r}^{\, \prime}) dV^{\prime}.$ Es ist sehr wichtig, dass Sie sich daran erinnern.

Auf der anderen Seite, sobald Sie eingestellt sind $\sigma_{b} = P \cos \theta$ , sollten Sie in der Lage sein, die Laplace-Gleichung durch Trennung der Variablen zu lösen, um das Potential in beiden Regionen zu erhalten, und dann können Sie das elektrische Feld berechnen, indem Sie einfach seinen Gradienten nehmen.

Ich bin mir da nicht ganz sicher, aber ich denke, Sie sollten die eingeschlossene Ladung nicht als Volumenintegral der Volumendichte plus Oberflächenintegral der induzierten Oberflächendichte betrachten. Ich glaube auch nicht, dass Sie das Gaußsche Gesetz direkt anwenden können, es sei denn, Sie gehen so vor wie Griffiths.

Neuer Lernender · Answer 2

Ich kann helfen, aber Griffith bietet eine andere Lösung an, die völlig anders ist als meine und die ich überhaupt nicht verstehe.
Normalerweise hat man ein Problem damit, den
Teil "Stellen Sie sich das als zwei Zylinder mit entgegengesetzter gleichmäßiger Ladungsdichte vor"
in dem von Ihnen angehängten Bild zu verstehen.
Es ähnelt dem Fall der gleichförmig polarisierten Kugel ; siehe Bild.
Das heißt, wenn der Zylinder polarisiert ist, verteilen sich die gebundenen Ladungen so, dass die positive Ladung in der Richtung angesammelt wird, in die der Polarisationsvektor zeigt (hier die Oberseite der gekrümmten Oberfläche des Zylinders), während die negative Ladung wird in der entgegengesetzten Richtung angesammelt (untere Seite der gekrümmten Oberfläche)

Ich habe eine ähnliche Darstellung für einen Zylinder in den folgenden Abbildungen gegeben. Es kann angenommen werden, dass die Ladungen auf dem Zylinder in Bild (a) auf zwei verschiedene Zylinder mit entgegengesetzten gebundenen Ladungsdichten zurückzuführen sind, positiv für Rot und negativ für Grün. Die Ladungen für diese beiden heben sich in den überlappenden Bereichen auf, erzeugen aber aufgrund der Ladungen in den nicht überlappenden Bereichen ungefähr die gleiche Wirkung wie der ursprüngliche Zylinder.

Unter Verwendung dieser beiden neu angenommenen Zylinder kann das elektrische Nettofeld des ursprünglichen Zylinders nach dem Prinzip der Überlagerung unter Verwendung des individuellen Feldes aufgrund der Ladungsdichten der beiden Zylinder berechnet werden.
Hoffe es wird helfen.

Bitte machen Sie in Ihrer Antwort weitere Angaben. Wie es derzeit geschrieben ist, ist es schwer, Ihre Lösung zu verstehen.

Ari · Answer 3

Hier $\rho_b=0$ Aber $\rho_{free}$ ist nicht null. Um das Gaußsche Gesetz anzuwenden, müssen Sie die Gesamtladung berücksichtigen, dh freie und gebundene Ladung.

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