Randbedingung Elektromagnetismus

Die Randbedingungen, wie im Kommentar unter dem ursprünglichen Beitrag angegeben, sind:

Diese sind ziemlich einfach zu lösen$\vec{E}_2$Und$\vec{B}_2$, wie oben beschrieben; die Ergebnisse sind

(ETA: Was unter diesem Punkt liegt, ist wahrscheinlich keine gute Art, über Dinge nachzudenken. Siehe Bearbeiten unten.)

Tatsächlich könnte man sich diese Situation als die Grenze von vorstellen$\theta \to \pi/2$der Totalreflexion. Angenommen, Sie hätten eine Welle, die sich in der bewegt$xy$-Ebene zur Grenzfläche im obigen Diagramm, mit ihrer Polarisation in der Reflexionsebene. Dies würde zu einer reflektierten Welle im Dielektrikum und zu einer evaneszenten Welle in der Luft führen. Diese evaneszente Welle hätte im Allgemeinen einen Wert ungleich Null$E_x$Und$E_y$, und da alles exponentiell in der abstirbt$y$-Richtung hätten wir$\partial E_x/\partial y \neq 0$. Ich vermute (obwohl ich es nicht bewiesen habe), dass Sie Ihr Problem als Fall von Totalreflexion bei streifendem Einfall ansehen können, und dass dies der Fall ist$\partial E_x/\partial y \neq 0$ist nur eine Manifestation von abklingenden Wellen in der Luft an dieser Grenze.

Was an dieser Erklärung natürlich weniger als befriedigend ist, ist, dass sie verlangt, dass das elektrische Feld eine Komponente in der erhält$x$-Richtung in der Luft, obwohl es keine hat$x$-Komponente im Dielektrikum. Ich weiß ehrlich gesagt nicht genug über evaneszente Wellen, um zu wissen, ob dies ein Dealbreaker für diese Interpretation ist oder nicht.

BEARBEITEN : Nachdem ich die Berechnungen durchgegangen bin, bin ich mir bei der Interpretation der evaneszenten Welle nicht so sicher. Die Grundidee, die ich hatte, war, dass Sie die übliche Drei-Wellen-Lösung an einer Grenzfläche (einfallend, übertragen und reflektiert) aufschreiben und die Fresnel-Gleichungen verwenden könnten, um die Summe zu finden$E_x$über und unter der Grenzfläche, und zeigen Sie dann, ob Sie die Grenze entsprechend als Einfallswinkel genommen haben$\theta \to \pi/2$, könnten Sie eine Situation bekommen, wo$E_x \to 0$im Dielektrikum aber$E_x \nrightarrow 0$in der Luft. Vorausgesetzt, ich habe die Algebra richtig gemacht, ist das Verhältnis der$E_x$Werte unmittelbar über und unter der Schnittstelle werden

Ich bin immer noch mäßig zuversichtlich in meine obige Antwort (das$\partial E_x /\partial y \neq 0$an der Grenze, obwohl$E_x$selbst verschwindet), aber bisher kann ich die unbefriedigenden Aspekte dieser Antwort, die ich oben angemerkt habe, nicht ansprechen.

Es scheint mir, dass eine ebene Wellenbeschreibung des Feldes im dielektrischen Medium nur in Abständen (-y-Richtung) gültig sein kann, die im Vergleich zur Wellenlänge der Welle groß sind. Hier gehe ich davon aus, dass die xz-Ebene selbst die obere Grenze des Dielektrikums ist. Die modifizierte Variation des Feldes unterhalb der dielektrischen Grenze muss verwendet werden, um die Felder darüber auszuwerten.

Sie können die Randbedingungen aus den Maxwell-Gleichungen in zeitunabhängiger Form zusammen mit dem Snell-Gesetz und der Kontinuität von Photonen ableiten.

Sie ersetzen$\nabla$mit$\Delta$, die Differenz der Kräfte.$\Delta\times E=0$bewirkt, dass die horizontale Komponente von E 0 ist, weil es kein Feld vertikal zu E oder H gibt, und$\Delta\cdot B = 0$bedeutet, dass die vertikale Komponente von B und D unverändert bleibt.

Die Kontinuität eines Photons bedeutet das$c D = H$Und$c B = E$, wobei c die lokale Lichtgeschwindigkeit ist (dh$c_0/n$), Und$D/B = H/E = 1/Z_w = \sqrt{\epsilon/\mu}$. Zusammen bekommen Sie

$c D = H = Zc B = Z E$ist nach dem Snellschen Gesetz das Ergebnis der Felder in einem Photon.