Suche nach einem einfachen Beweis der Symmetrie des linearen Suszeptibilitätstensors

Erhalten eines diagonalen Suszeptibilitätstensors:

Definieren Sie den linearen Suszeptibilitätstensor als$\chi_{ij}$:$P_i = \epsilon_0\chi_{ij}E_j$, unter Verwendung der Standardnotation für das elektrische Feld und die Polarisation. Geht man von einem Spielzeugmodell mit Atomen mit harmonischem Potential aus:

$$\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2x = -eE_x(t)/m$$ Nun, wenn wir setzen $E_x(t)$in Bezug auf Exponentiale / Sinuskurve mit einer Zwangsfrequenz $\omega$, können wir die stationäre Lösung auf die gleiche Weise wie einen erzwungenen harmonischen Oszillator finden. Dann ist die $x$kann zum Schreiben verwendet werden $P = -Nex$, mit $N$Zahlendichte bezeichnet. Schließlich können wir mit einem Ausdruck where enden $P \propto E$und erhalten Sie die skalare Suszeptibilität.

Grundsätzlich können wir den Wert ändern$\omega_0$für$y$Und$z$und schreiben Sie drei verschiedene Gleichungen für die kartesischen Achsen, um einen diagonalen Suszeptibilitätstensor zu erzeugen, bei dem nicht alle Terme ungleich Null gleich sind. Offensichtlich ist dieser Tensor symmetrisch, und wenn wir eine Ähnlichkeitstransformation durchführen, bleibt er symmetrisch.

Symmetrie beweisen?

Ich bin mir nicht sicher, wie ich diese Grundidee erweitern soll, um tatsächlich zu beweisen, dass der Suszeptibilitätstensor im Allgemeinen symmetrisch sein sollte, worauf hier auf Seite 2 hingewiesen wird .

Die Matrix$\chi$ist als Suszeptibilitätstensor bekannt und ist ein Tensor vom Rang 2. Dies ist die allgemeinste Darstellung der Suszeptibilität eines linearen und einheitlichen dielektrischen Mediums. Es kann gezeigt werden, dass für ein verlustfreies und nicht optisch aktives Material$\chi_{ij}=\chi_{ji}$.

Während der optisch inaktive Teil intuitiv erscheint, bin ich mir nicht sicher, was in diesem Fall mit verlustfreiem Medium gemeint ist. Bedeutet das$\gamma = 0$im Spielzeugmodell? Soweit ich verstehe, die$\gamma$wird eingeführt, um Verzögerungsbewegungen aufgrund des Vorhandenseins anderer Atome in der Umgebung zu berücksichtigen. Eine andere Frage: Wie beschreibt man ein Material als optisch inaktiv, dh welche Gleichungen kann man damit schreiben?

Außerdem gelang es mir, einen Beweis für die Symmetrie des dielektrischen Tensors zu finden. Es gibt tatsächlich zwei Beweise, einen mit dem Onsager-Theorem und einen mit dem Fluctuation-Dissipation-Theorem. Ich suche jedoch nach einem viel einfacheren Beweis, hoffentlich nur in Bezug auf Energie- und Impulserhaltung und ohne thermodynamische Maschinerie.

Bearbeiten: Der erste Link stammt von der Kursseite PHYS 3003 Light and Matter von Tim Freegarde, School of Physics & Astronomy, University of Southampton, UK. Der zweite Link trägt den Titel "Symmetry of the Dielectric Tensor" von Curtis R. Menyuk, Computational Photonics Lab., UMBC.