Elektrolyte und elektrisches Feld

Sie möchten so etwas wie die Poisson-Boltzmann-Gleichung oder ihre linearisierte Form, die Debye-Huckel-Gleichung .

Betrachten Sie zur Veranschaulichung des Effekts eine unbewegliche Kugelladung$Q$im Zentrum Ihres Koordinatensystems, umgeben von kleinen mobilen Ladungsträgern$\pm q$. Das Gaußsche Gesetz gibt Ihnen das Potenzial$\phi(r)$als (kugelsymmetrische) Funktion von$Q$und die Anzahl der im Umkreis enthaltenen Mobilfunkgebühren$r$. Die potenzielle Energie einer einzelnen mobilen Ladung$q$befindet sich$r$Ist$U = q\phi(r)$. Da sich diese Ladungen leicht bewegen können, folgen sie einer Boltzmann-Verteilung. Wenn Sie diese beiden Fakten kombinieren, erhalten Sie überall eine Differentialgleichung für das Potenzial. Es ist eine unangenehme Gleichung, weil sie ein enthält$\exp(\phi(r)/kT)$Begriff.

Wenn das Potenzial viel geringer ist als$kT$, können Sie das Exponential als Taylor erweitern$\exp(\phi/kT) = 1 + \phi(r)/kT + O(\phi^2)$. Das ergibt eine lineare Differentialgleichung für$\phi$. Das Ergebnis dieser Gleichung ist das$\phi(r) \propto \frac{e^{-\kappa r}}{r}$. Also zusätzlich zu den$1/r$Abhängigkeit, die Sie von der immobilen Gebühr sehen, erhalten Sie einen exponentiellen Abfall aufgrund der "Wolke" der mobilen Gebühren.$\kappa^{-1}$wird als Debye-Screening-Länge bezeichnet . Das wichtigste Merkmal ist, dass die Debye-Länge proportional zur Quadratwurzel der Konzentration Ihrer beweglichen Ionen ist.

Es sollte möglich sein, die Poisson-Boltzmann-Gleichung für eine beliebige feste Ladung/Potential aufzuschreiben. Und wenn die Ionenstärke, die Ihnen wichtig ist, ausreichend schwach ist, sollte es möglich sein, auch die entsprechende Debye-Huckel-Gleichung aufzuschreiben. Meine Vermutung ist, dass die Hauptwirkung der Zugabe der Ionen immer noch die ist$e^{-\kappa r}$runterfallen.