Symmetrie des dielektrischen Tensors

Question

Symmetrie des dielektrischen Tensors

NeonGabu

In dem Buch Prinzipien der Optik von Max Born, in Kapitel XIV, die Änderungsrate der elektrischen Energiedichte $w_{e}$ verallgemeinert wird

\begin{matrix} (1) & \frac{D w_{e}}{D T} = \frac{1}{4 π} \sum_{k l} E_{k} ϵ_{k l} {\dot{E}}_{l} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l} \tag 1 \end{equation}$

um anisotrope Medien zu berücksichtigen. Es wird jedoch gesagt, dass die rechte Seite der obigen Gleichung nicht als Änderungsrate der elektrischen Energiedichte interpretiert werden kann, es sei denn

\begin{matrix} (2) & \frac{D w_{e}}{D T} = \frac{1}{4 π} \sum_{k l} E_{k} ϵ_{k l} {\dot{E}}_{l} = \frac{1}{8 π} \sum_{k l} ϵ_{k l} (E_{k} {\dot{E}}_{l} + {\dot{E}}_{k} E_{l}) \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l}\, = \frac{1}{8\pi}\sum_{kl}\,\epsilon_{kl}( E_{k}\dot{E}_{l}+ \dot{E}_{k}E_{l}) \tag 2 \end{equation}$

das heißt, es sei denn

\begin{matrix} (3) & \sum_{k l} ϵ_{k l} (E_{k} {\dot{E}}_{l} - {\dot{E}}_{k} E_{l}) = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \sum_{kl}\,\epsilon_{kl}( E_{k}\dot{E}_{l} - \dot{E}_{k}E_{l}) = 0 \tag 3 \end{equation}$

was impliziert $\epsilon_{kl} = \epsilon_{lk}$ , da $k$ Und $l$ sind Dummy-Indizes.

Jetzt für isotrope Medien $\epsilon_{kl} = \epsilon\,\delta_{kl}$ und Gleichung (1) ist wie erwartet. Ich verstehe aber nicht, warum dieser Ausdruck nur dann mit der Änderung der elektrischen Energiedichte identifiziert werden kann, wenn die Forderung von Gleichung (2) erfüllt ist. Mir erscheint das alles wie ein Zirkelschluss, weil man die Gleichung (2) nur schreiben kann, wenn der Tensor von vornherein symmetrisch ist. Können Sie mir helfen, diese Argumentation zu verstehen?

Antworten (1)

Symmetrie des dielektrischen Tensors

Emilio Pisanty · Answer 1

Das Erfordernis der Permutationssymmetrie in Kopplungen dieser Form ist ein ziemlich universelles Merkmal, und der Hauptgrund dafür ist, dass die Energie, damit sie eine wohldefinierte Funktion der Zustandsvariablen ist, pfadunabhängig sein muss.

Dies ist am einfachsten anhand eines konkreten Beispiels zu sehen, betrachten Sie also einen 2D-Fall, in dem der Suszeptibilitätstensor lautet

ϵ = (\begin{matrix} ϵ_{X X} & ϵ_{j X} \\ ϵ_{X j} & ϵ_{j j} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ ϵ_{X j} & 0 \end{matrix}),

$\epsilon = \begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{yx} \\ \epsilon_{xy} & \epsilon_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \epsilon_{xy} & 0 \end{pmatrix},$ und betrachten Sie zwei Prozesse, die dauern

(E_{x}, E_{y})

$(E_x,E_y)$ aus

(0, 0)

$(0,0)$ Zu

(E_{0}, E_{0})

$(E_0,E_0)$ ,

über das Bein $(E_x,E_y): (0,0) \to (0,E_0)\to (E_0,E_0)$ , gegen
über das Bein $(E_x,E_y): (0,0) \to (E_0,0)\to (E_0,E_0)$ ,

wobei jede Seite des Quadrats gleichmäßig über eine Zeit durchquert wird $T$ .

Im ersten Prozess haben Sie

\frac{D w_{e}}{D T} = \frac{1}{4 π} \sum_{k l} E_{k} ϵ_{k l} {\dot{E}}_{l} = \frac{1}{4 π} E_{X} ϵ_{X j} {\dot{E}}_{j} = 0

$\frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l} = \frac{1}{4\pi}\,E_{x}\epsilon_{xy}\dot{E}_{y} = 0$ auf dem Hinspiel, weil

E_{x} = 0

${E}_x=0$ , und auf dem zweiten Bein haben Sie

{\dot{E}}_{y} = 0

$\dot{E}_y=0$ , also bekommst du auch

\frac{D w_{e}}{D T} = \frac{1}{4 π} \sum_{k l} E_{k} ϵ_{k l} {\dot{E}}_{l} = \frac{1}{4 π} E_{X} ϵ_{X j} {\dot{E}}_{j} = 0,

$\frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l} = \frac{1}{4\pi}\,E_{x}\epsilon_{xy}\dot{E}_{y} = 0,$ und das schließt du

Δ w_{e} = 0

$\Delta w_e=0$ .

Andererseits haben Sie im zweiten Prozess auch $\dot{E}_y=0$ , also hast du auch $\frac{dw_{e}}{dt} =0$ , aber die schließende Seite des Quadrats ist anders, da

\frac{D w_{e}}{D T} = \frac{1}{4 π} \sum_{k l} E_{k} ϵ_{k l} {\dot{E}}_{l} = \frac{1}{4 π} E_{X} ϵ_{X j} {\dot{E}}_{j} = \frac{1}{4 π} E_{0} ϵ_{X j} \frac{E_{0}}{T} = \frac{1}{4 π} \frac{1}{T} ϵ_{X j} E_{0}^{2} = 0,

$\frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l} = \frac{1}{4\pi}\,E_{x}\epsilon_{xy}\dot{E}_{y} = \frac{1}{4\pi}\,E_{0}\epsilon_{xy}\frac{E_0}{T} = \frac{1}{4\pi}\,\frac{1}{T}\epsilon_{xy}E_{0}^2 = 0,$ und das schließt du

Δ w_{e} = \frac{1}{4 π} ϵ_{x y} E_{0}^{2} \neq 0

$\Delta w_e = \frac{1}{4\pi}\epsilon_{xy}E_{0}^2\neq 0$ .

Wie Sie sehen können, ist der Kopplungstensor, mit dem ich begonnen habe, inkonsistent $w_e$ eine Funktion der Zustandsvariablen ist. Eine etwas formalisiertere Version desselben Arguments reicht aus, um zu zeigen, dass diese Eigenschaft genau dann zulässig ist, wenn der Kopplungstensor in jedem Indexpaar symmetrisch ist.

Symmetrie des dielektrischen Tensors

NeonGabu

Antworten (1)

Emilio Pisanty

Verwendung der Relaxationsmethode zur Modellierung negativer Dielektrika in einem elektrischen Feld?

Leitfähigkeit aus dielektrischer Permittivität

Elektrolyte und elektrisches Feld

Elektromagnetische Bestrahlung eines Dielektrikums: Transformation der Striktionskraftgleichung

Licht aus oszillierenden elektrischen und magnetischen Feldern

Frage zur Lösung von Griffiths "Einführung in die Elektrodynamik", Vierte Auflage, Problem 4.13 [geschlossen]

Energie in dielektrischem Material

Mikrowellenheizung mit mehreren Frequenzen

Wird ein kreisförmiger Gaußscher Strahl, der an einer dielektrischen Grenzfläche reflektiert wird, elliptisch?

Warum ist Holz undurchsichtig?