Energie in dielektrischem Material

Die Gesamtarbeit, die zum Aufbau der freien Ladung von Null bis zur endgültigen Konfiguration in Gegenwart eines dielektrischen Materials aufgewendet wird, beträgt:

W = 1 2 ∫ D → ⋅ E → D τ .
Wir haben dies erreicht, indem wir angenommen haben, dass das dielektrische Material in Position fixiert ist, und dann bringen wir die kostenlose Ladung ein Δ ρ F ein bisschen auf einmal. Somit ist die an der inkrementellen kostenlosen Gebühr geleistete Arbeit gegeben durch:
Δ W = ∫ ( Δ ρ F ) v D τ .

Seit ∇ ⋅ D → = ρ F , Δ ρ F = ∇ ⋅ ( Δ D → ) , Wo Δ D → ist die resultierende Änderung in D → , So

Δ W = ∫ [ ∇ ⋅ ( Δ D → ) ] v D τ .
und damit durch partielle Integration
Δ W = ∫ ∇ ⋅ [ ( Δ D → ) v ] D τ + ∫ ( Δ D → ) ⋅ E → D τ .
Der Divergenzsatz verwandelt den ersten Term in ein Flächenintegral, das verschwindet, wenn wir über den ganzen Raum integrieren. Daher ist die geleistete Arbeit gleich
Δ W = ∫ ( Δ D → ) ⋅ E → D τ .

Fragen: Warum tut Δ D → v muss schneller auf null gehen 1 R 2 für das Oberflächenintegral (aus dem Divergenzsatz) ∫ ∇ ⋅ [ ( Δ D → ) v ] D τ = ∮ v Δ D → ⋅ D A = 0 ?

In dieser Ableitung (eine vollständige Erklärung finden Sie hier ) berücksichtigen wir die Tatsache, dass das dielektrische Material polarisiert wird, wenn wir freie Ladung einbringen, und daher das elektrische Feld (und daher das Potential an jedem Punkt v ( R ) ) Änderungen aufgrund der Hinzufügung von Δ ρ F ? Wenn ja, wo in der Herleitung?

Danke.

Antworten (1)

Lesen Sie die von Ihnen gepostete Demonstration sorgfältig durch. Sie müssen die Ladungen aus dem Unendlichen bringen, damit das Anfangsintegral auf den gesamten Raum angewendet wird (im Link wird dies dargestellt als D 3 R ).

Der Begriff Δ D → v sollte so gehen 1 / R 2 weil wir, wie gesagt, das Integral im gesamten Raum auswerten müssen. Wir ändern die D 3 R ≡ D v Zu D A im Divergenzsatz, aber nach der Integration müssen wir noch den Grenzwert machen A → + ∞ um sich über den Raum zu integrieren. Wenn wir in diesem Unterschied als wachsende Sphäre denken, dann können wir schreiben D A = R 2 Sünde ⁡ θ D θ D ϕ . Das müssen wir integrieren, und dann wird das Limit genommen R → + ∞ . Dies ergibt ein unendliches Ergebnis, wenn wir den Begriff nicht eliminieren R 2 innerhalb des Integrals. Um dieses Ergebnis zu vermeiden, Δ D → v sollte so gehen 1 / R 2 die zu stornieren R 2 Begriff. Außerdem muss das Integral Null sein, denn wenn die Oberfläche gegen unendlich geht und wir annehmen, dass das Potential an diesem Punkt Null ist, werden wir keinen Beitrag von diesem Integral haben.

Was die Polarisation des Dielektrikums betrifft, so bin ich mir ziemlich sicher, dass sie in der Ableitung enthalten ist, und ich denke, dass sie in der Tatsache enthalten ist, dass Sie sie verwenden D → . Erinnere dich daran D → = ε E → + P → Wo P → ist die Polarisationsdichte. Wenn das Medium polarisiert ist, müssen Sie den Polarisationsdichtevektor in Ihren Kalkül einbeziehen.

Oh, ich glaube, ich verstehe. Wenn der Integrand nicht schnell genug auf Null geht (schneller als 1 R 2 ), hätten wir einen Integranden ungleich Null v Δ D → an der Oberfläche der Kugel, die ins Unendliche geht (so Grenze A → ∞ ) daher würde das Oberflächenintegral divergieren und Δ W würde auch divergieren, was wir nicht wollen. Was, wenn wir überlegen v D → geht genauso schnell auf null 1 R 2 , sagen v D → = 1 R 2 R ^ Das Oberflächenintegral muss also nicht auf Null gehen und Δ W kann noch konvergieren? Warum muss das Oberflächenintegral null sein?
@V_Programmer Wenn Sie die Möglichkeit haben, lesen Sie meinen Beitrag zu diesem Thema.
@JohnDoe Nicht 100% sicher, aber ich denke, es muss auf Null gehen, weil Sie das Potenzial Null auf unendlich setzen (das Dokument, mit dem Sie verlinkt haben, sagte deutlich diese Wahl des Potenzials). @Alex kann den Beitrag nicht sehen, falscher Link I denke ^^"
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