Nachweis der Identität des alternierenden Binomialkoeffizienten

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob dies als Duplikat gilt, aber ich gebe hier drei Beweise für eine Identität, die dieser Identität entspricht (einer davon ist der Beta-Funktions-Beweis). Ich denke, es ist am saubersten, es so zu schreiben

$$\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{z + k} {n \choose k} = \frac{n!}{z(z + 1) \dots (z + n)}$$

(Hier$z$Ist$a+1$), wodurch deutlicher wird, dass z$n$Festgelegt ist es eine Gleichheit zwischen zwei rationalen Funktionen$z$; insbesondere gilt es für alle komplexen Werte von$z \neq 0, -1, \dots -n$, und so geschrieben, kann es bewiesen werden, indem die Residuen an jedem Pol der rechten Seite berechnet und überprüft werden, ob sie mit den Koeffizienten der linken Seite übereinstimmen. Ich gebe einen weiteren Beweis, indem ich an die LHS als die denke$n^{th}$endliche Differenz der Folge$a_k = \frac{1}{z + k}$, die durch Induktion berechnet und verifiziert werden kann, um mit dem RHS übereinzustimmen.

Wenn wir ersetzen$z \mapsto -\frac{1}{z}$und klaren Nennern erhalten wir die äquivalente Identität

$$\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{1 - kz} {n \choose k} = \frac{n! z^n}{(1 - z) \dots (1 - nz)}$$

die eine gewöhnliche Identität der erzeugenden Funktion für die Stirling-Zahlen der zweiten Art ist und die bewiesen werden kann, indem man die Identität einer exponentiellen erzeugenden Funktion beweist und sie dann übersetzt.

Durch den Partialbruchsatz wissen wir es

$$\frac{n!}{a(a+1) \cdots (a+n+1)} = \frac{b_0}{a} + \frac{b_1}{a+1} + \dots + \frac{b_{n+1}}{a+n+1}$$ für eine Reihe von Zahlen$b_0, b_1, \dots , b_{n+1}$. Finden$b_k$, beide Seiten der Gleichung mit multiplizieren$b+k$und dann einstellen$a=-k$in der resultierenden Gleichung. Das Ergebnis ist $$b_k = (-1)^k \binom{n}{k}$$

Beim Versuch zu bewerten

$$S_n = \sum_{r=0}^n (-1)^r {n\choose r} \frac{1}{r+a+1}$$

Wo$a$ist nicht dabei$\{-1, -2, \ldots, -n-1\}$wir stellen vor

$$f(z) = \frac{(-1)^n \times n!}{z+a+1} \prod_{q=0}^n \frac{1}{z-q}$$

die die Eigenschaft hat, dass für$0\le r\le n$

$$\mathrm{Res}_{z=r} f(z) = \frac{(-1)^n \times n!}{r+a+1} \prod_{q=0}^{r-1} \frac{1}{r-q} \prod_{q=r+1}^n \frac{1}{r-q} \\ = \frac{(-1)^n \times n!}{r+a+1} \frac{1}{r!} \frac{(-1)^{n-r}}{(n-r)!} = (-1)^r {n\choose r} \frac{1}{r+a+1}.$$

Es folgt dem

$$S_n = \sum_{r=0}^n \mathrm{Res}_{z=r} f(z).$$

Jetzt summieren sich die Residuen zu Null und der Residuum bei Unendlich$f(z)$ist daher durch Inspektion Null

$$S_n = - \mathrm{Res}_{z=-1-a} f(z) = (-1)^{n+1} \times n! \times \prod_{q=0}^n \frac{1}{-1-a-q} \\ = n! \prod_{q=0}^n \frac{1}{a+q+1}.$$

Das ist der Anspruch.

Ich denke, dass der "klarste" Weg, die Identität zu demonstrieren, durch die endlichen Unterschiede und die fallende und steigende Fakultät wie folgt ist

Die endliche Differenz (einheitlicher Schritt) einer Funktion bzgl. der Variablen$z$ist definiert als

$$\Delta _{\,z} \,f(z) = f(z + 1) - f(z)$$ und seine Iteration wird $$\Delta _{\,z} ^{\,n} \,f(z) = \Delta _{\,z} \,\left( {\Delta _{\,z} ^{\,n - 1} \,f(z)} \right) = \sum\limits_k {\left( { - 1} \right)^{n - k} \left( \matrix{ n \cr k \cr} \right)\;f(z + k)}$$

Nun zur Funktion$1/z$wir haben

$$\eqalign{ & \Delta _{\,z} \left( {{1 \over z}} \right) = {1 \over {z + 1}} - {1 \over z} = {{ - 1} \over {z\left( {z + 1} \right)}} \cr & \Delta _{\,z} ^{\,2} \left( {{1 \over z}} \right) = \Delta _{\,z} \left( {\Delta _{\,z} \left( {{1 \over z}} \right)} \right) = {{\left( { - 1} \right)^{\,2} 2} \over {z\left( {z + 1} \right)\left( {z + 2} \right)}} \cr & \;\quad \vdots \cr & \Delta _{\,z} ^{\,n} \left( {{1 \over z}} \right) = \Delta _{\,z} ^{\,n} \left( {\left( {z - 1} \right)^{\,\underline {\, - 1\,} } } \right) = \left( { - 1} \right)^{\,\underline {\,n\,} } \left( {z - 1} \right)^{\,\underline {\, - 1 - n\,} } = {{\left( { - 1} \right)^{\,n} n!} \over {z^{\,\overline {\,n + 1\,} } }} \cr}$$ wobei die letzte Zeile aus den fundamentalen Eigenschaften der jeweils mit dargestellten Fallenden und Steigenden Fakultät folgt$x^{\,\underline {\,k\,} } ,\quad x^{\,\overline {\,k\,} }$.

Beides zusammenfügen

$$\Delta _{\,z} ^{\,n} \left( {{1 \over z}} \right) = {{\left( { - 1} \right)^{\,n} n!} \over {z^{\,\overline {\,n + 1\,} } }} = \sum\limits_k {\left( { - 1} \right)^{n - k} \left( \matrix{ n \cr k \cr} \right)\;{1 \over {z + k}}} \quad \left| {\;0 \le n \in Z} \right.$$