Nicht-SHM-Oszillationsbewegung

Question

Nicht-SHM-Oszillationsbewegung

ABC

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Wie man solche Fragen löst, wo $|F| \propto x^2$ ? Wie finde ich Zeitdauer und Geschwindigkeitstyp, die mit der oszillierenden Bewegung zusammenhängen?

M \frac{D^{2} X}{D T^{2}} = F = - \frac{D U}{D X} = - 3 k X | X | .

$m\dfrac{d^2x}{dt^2}=F=-\dfrac{dU}{dx}=-3kx|x|.$

Aber danach

M \frac{D^{2} X}{D T^{2}} = - 3 k X | X | .

$m\dfrac{d^2x}{dt^2}=-3kx|x|.$

Was ist die allgemeine Lösung dieser ODE? Ich denke, es würde die geben $x$ bezüglich $t$ und ich würde in der Lage sein, Zeiträume daraus zu bekommen.

ABC

Aber trotzdem, wenn mir jemand eine Lösung für dieses DE /

Saurab Raje

Woher hast du das? @Mr.007

Antworten (3)

Nicht-SHM-Oszillationsbewegung

Aber trotzdem, wenn mir jemand eine Lösung für dieses DE /

zkf · Answer 1

Diese Art von Verhältnismäßigkeitsfragen lassen sich oft am besten mit einer Dimensionsanalyse beantworten. Sie möchten eine Menge mit den Zeiteinheiten in Bezug auf das, was Sie haben, kennen.

Sie haben eine Menge $k$ mit Einheiten $\frac{\text{Energy}}{\text{Distance}^3} = \frac{\text{Mass}}{\text{Distance} \times \text{Time}^2}$ . Sie haben auch die Masse $m$ (Masseneinheiten) und Amplitude $a$ (Entfernungseinheiten). Die einzige Möglichkeit, diese Größen zu kombinieren, um eine Antwort mit den Zeiteinheiten zu erhalten, besteht darin, dass der Ausdruck eine reine Zahl mal ist $\sqrt{\frac{m}{ak}}$ . Das sagt Ihnen also, wie die Periode in Bezug auf die dimensionsbehafteten Konstanten skaliert werden muss.

Nur um zu zkf hinzuzufügen, das Buckingham π-Theorem ist eine formale Methode, um Sätze von dimensionslosen Parametern aus den Variablen zu berechnen.

QMechaniker · Answer 2

Die Dimensionsanalyse in der Antwort von zkf löst die Übung vollständig. Dennoch ist es möglich, eine geschlossene Formel für den Zeitraum anzugeben

T = 4 \sqrt{\frac{M}{2 k}} \int_{0}^{A} \frac{D X}{\sqrt{A^{3} - X^{3}}} \overset{X = A u}{=} 4 \sqrt{\frac{M}{2 k A}} \int_{0}^{1} \frac{D u}{\sqrt{1 - u^{3}}} .

$T~=~ 4 ~\sqrt{\frac{m}{2k}} \int_0^a\! \frac{dx}{\sqrt{a^3-x^3}} ~\stackrel{x=au}{=}~ 4 ~\sqrt{\frac{m}{2ka}} \int_0^1\! \frac{du}{\sqrt{1-u^3}}.$

Können Sie sehen, warum? Wenig überraschend bestätigt dies nur die Antwort des zkf.

Verdammt, ich habe das gerade aufgeschrieben! :P Das eine Extrabit, das ich gemacht habe (na ja, eigentlich hat Mathematica es für mich getan): das Integral funktioniert $\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{4}{3}\right)/\Gamma \left(\frac{5}{6}\right)\approx 1.40218$ .

Michael · Answer 3

zkf gibt Ihnen genug, um diese Frage zu beantworten, aber ich möchte ein paar zusätzliche Punkte machen:

Die Absolutwertoperation im Potential macht dies zu einem nichtlinearen Problem, das im Allgemeinen ziemlich schwierig zu handhaben ist. Ich wurde ungeduldig darauf zu warten, dass Mathematica eine Lösung in geschlossener Form für lieferte $x(t)$ , also gibt es wahrscheinlich keinen. Dies ist die typische Situation in der Physik und in diesem Fall müssen Sie auf eine numerische Berechnung zurückgreifen.
Da dies ein eindimensionales Problem ist, können Sie es immer noch mit der Energieerhaltung lösen (Sie benötigen nur eine Erhaltungsgröße, um ein einzelnes Teilchen in einem 1D-Problem zu lösen). Wenn Sie die Energieerhaltung für dieses System schreiben:

\frac{1}{2} M {\dot{X}}^{2} + k | X |^{3} = E = Konstante,

$\frac{1}{2} m \dot{x}^2 + k |x|^3 = E = \text{constant},$

Sie können dies ein wenig umgestalten

D T = \frac{D X}{\sqrt{Sachen mit x}} .

$\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\text{stuff involving x}}}.$

Das Integrieren gibt Ihnen die Antwort, die QMechanic gerade gepostet hat . :)

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