Nichtlineare Optik als Eichtheorie

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Nichtlineare Optik als Eichtheorie

Optik
Physik
Eichtheorie
Quantenoptik
Elektromagnetismus
Nichtlineare Optik

Robert Filter

Der weit verbreitete Ansatz zur nichtlinearen Optik ist eine Taylor-Entwicklung des dielektrischen Verschiebungsfelds $\mathbf{D} = \epsilon_0\cdot\mathbf{E} + \mathbf{P}$ in einer Fourier-Darstellung der Polarisation $\mathbf{P}$ in Bezug auf die dielektrische Suszeptibilität $\mathcal{X}$ :

$\mathbf{P} = \epsilon_0\cdot(\mathcal{X}^{(1)}(\mathbf{E}) + \mathcal{X}^{(2)}(\mathbf{E},\mathbf{E}) + \dots)$ .

Diese Aufweitung funktioniert nicht mehr, wenn das Anregungsfeld Komponenten nahe der Resonanz des Mediums hat. Dann muss man die gesamte quantenmechanische Situation berücksichtigen, indem man zB die Licht/Materie-Wechselwirkung durch einen Zwei-Niveau-Hamiltonoperator beschreibt.

Aber dieser Ansatz ist sicherlich nicht der allgemeinste .

Intrinsisch nichtlineare Formulierungen der Elektrodynamik

Welche Arten von nichtlinearen Formulierungen der Elektrodynamik, die in einer Lagrange-Formulierung gegeben sind, gibt es also?

Ein bekannter Ansatz ist das von Raskolnikov aufgezeigte Born-Infeld-Modell . Dort ist die Lagrange-Dichte durch gegeben

$\mathcal{L} = b^2\cdot \left[ \sqrt{-\det (g_{\mu \nu})} - \sqrt{-\det(g_{\mu \nu} + F_{\mu \nu}/b)} \right]$

und die Theorie hat einige nette Eigenschaften, wie zum Beispiel eine maximale Energiedichte und ihre Beziehung zu Eichfeldern in der Stringtheorie. Aber wie ich es sehe, ist dieses Modell ein intrinsisch nichtlineares Modell für das Freiraumfeld selbst und nicht nützlich, um nichtlineare Wechselwirkungen mit Materie zu beschreiben.

Dasselbe gilt für einen Ansatz der Form

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \lambda\cdot\left( F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \right)^2$

vorgeschlagen von Mahzoon und Riazi . Natürlich ist die Beschreibung des Systems in der Quantenelektrodynamik an sich nichtlinear und ... meiner Meinung nach viel zu kompliziert für eine makroskopische Beschreibung für nichtlineare Optik. Die Frage ist: Können wir über einen effektiven Lagrangian noch eine schöne Formulierung der Theorie bekommen, sagen wir als Mean-Field-Theorie?

Ich denke das könnte ein passender Ansatz sein

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}M^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$

wo $M$ berücksichtigt nun die Materiereaktion und hängt in nichtlinearer Weise davon ab $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$ , sagen

$M^{\mu\nu} = T^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}$

wo jetzt $T$ ist eine nichtlineare Funktion der Feldstärke und kann gewissen Symmetrien gehorchen. Die gleichung $T = T\left( F \right)$ bleibt unbekannt und hängt vom Material ab.

Metrik vs. $T$ sich nähern

Wie von space_cadet betont , könnte man sich die Frage stellen, warum die Nichtlinearität in der Metrik selbst nicht besser geeignet ist. Ich denke, das ist Geschmackssache. Mein Punkt ist, dass eine explizite Änderung der Metrik eine nicht stationäre Raumzeit implizieren könnte, in der eine Fourier-Transformation möglicherweise nicht gut definiert ist . Es könnte völlig ausreichend sein, die Raumzeit als Lorentz-Mannigfaltigkeit zu behandeln.
Außerdem benötigen wir später möglicherweise eine einfache Raumzeitstruktur, um die materielle Wechselwirkung seit der Polarisation zu erklären $\mathbf{P}$ hängt von der Materieantwort allgemein im Sinne einer Integration über die Vergangenheit ab, sagen wir

$\mathbf{P}(t) = \int_{-\infty}^{t}R\left[\mathbf{E}\right](\tau )d\tau$

mit $R$ eine nichtlineare Antwortfunktion (al) zu sein, die verwandt ist $T^{\mu\nu\alpha\beta}$ .

Beispiele für $T$

Um die Idee zu veranschaulichen $T$ , Hier sind einige Beispiele.
Für freien Speicherplatz , $T$ es ist gegeben durch $T^{\mu\nu\alpha\beta} = g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}$ was zur Freiraum-Lagrangefunktion führt $\mathcal{L} = -\frac{1}{4}T^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}F_{\mu\nu} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ Der Lagrangian von Mahzoon und Riazi kann rekonstruiert werden
$T^{\mu\nu\alpha\beta} = \left( 1 + \lambda F^{\gamma\delta}F_{\gamma\delta} \right)\cdot g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}$ .
Unter Verwendung dieser Lagrange-Funktion könnte man möglicherweise eine Kerr-Nichtlinearität ableiten.

Kennt sich also jemand mit einer Beschreibung der nichtlinearen Optik / Elektrodynamik im Sinne einer Eichfeldtheorie oder etwas Ähnlichem wie den hier skizzierten Gedanken aus?

Danke im Voraus.

Aufrichtig,

Robert

Kommentare zum ersten Kopfgeld

Ich möchte allen danken , die sich aktiv an der Diskussion beteiligt haben, insbesondere Greg Graviton , Marek , Raskolnikov , space_cadet und Willie Wong . Ich genieße die Diskussion zu dieser Frage und bin dankbar für all die netten Hinweise, die Sie gegeben haben. Ich beschloss, Willie das Kopfgeld zu geben, da er dem Thread eine neue Richtung gab , indem er uns die materielle Mannigfaltigkeit vorstellte.
Im Moment muss ich alle Ideen noch einmal überdenken und hoffe, dass ich zu einer neuen Überarbeitung der Frage kommen kann, die klarer formuliert sein sollte, als sie im Moment ist.
Nochmals vielen Dank für Ihre Beiträge und fühlen Sie sich willkommen, neue Erkenntnisse zu teilen.

Marek

Ich bin mir nicht sicher, was Sie wollen. QED ist eine Eichtheorie und sagt Ihnen fast alles, was Sie über die Wechselwirkung von Licht mit Materie wissen möchten. Aber ich denke, dieser Ansatz ist selten nützlich. Normalerweise möchten Sie mit der Streuung von Photonen an einem Gitter arbeiten, und das ist nur Physik der kondensierten Materie. Einige meiner Freunde arbeiten, gelinde gesagt, auf dem Gebiet der Quantenoptik und müssen nicht einmal die Feldtheorie (um nicht zu sagen die Eichtheorie) kennen. Normalerweise befassen sie sich nur mit Materialwissenschaften.

Robert Filter

@Marek: Danke für deinen Kommentar. Ich habe die Frage bearbeitet und hoffe, dass sie verdeutlicht, wonach ich frage. Natürlich kann man bei der Arbeit mit einer solchen Theorie ihren eichtheoretischen Charakter fast immer vergessen. Was ich suche, ist eine eichtheoretische Beschreibung der nichtlinearen Optik. Ich frage nicht, ob dies Berechnungen erleichtern würde :)

Marek

@Robert: Danke für die Klarstellung, aber ich bin mir immer noch nicht sicher, was du willst. Du hast gerade transkribiert

D

$\mathbf D$ und

H

$\mathbf H$ bezüglich

M

$M$ aber das ändert überhaupt nichts an der Physik. Suchen Sie nur nach einem anderen Formalismus (im gleichen Sinne wie Maxwell-Gleichungen besser ausgedrückt werden in Begriffen von

d F = d^{2} A = 0

${\rm d}{\mathbf F} = {\rm d}^2{\mathbf A} = 0$ und

δ F = j

$\delta {\mathbf F} = {\mathbf j}$ )?

Robert Filter

@Marek: Nochmals vielen Dank für Ihren geschätzten Kommentar. In der Tat, seit dem „

M

$M$ -Formulierung ist äquivalent zu Maxwells Gleichungen, sagen wir

d F = 0

@Noldorin: Es tut mir leid, wenn ich dich beleidigt habe. Ich überbrachte die Nachricht mit einem Lächeln in der Hoffnung, dass Sie den lustigen Teil der ganzen Diskussion sehen würden. Wirklich, niemand zweifelt an Ihrem zweiten Punkt, aber ich hoffe, Sie entschuldigen sich später für den Teil in Klammern.

Noldorin

@Robert: Nein, es war ein Witz (und eine Tatsache), also überhaupt nicht.

Antworten (4)

Nichtlineare Optik als Eichtheorie

Ich bin mir nicht sicher, was Sie wollen. QED ist eine Eichtheorie und sagt Ihnen fast alles, was Sie über die Wechselwirkung von Licht mit Materie wissen möchten. Aber ich denke, dieser Ansatz ist selten nützlich. Normalerweise möchten Sie mit der Streuung von Photonen an einem Gitter arbeiten, und das ist nur Physik der kondensierten Materie. Einige meiner Freunde arbeiten, gelinde gesagt, auf dem Gebiet der Quantenoptik und müssen nicht einmal die Feldtheorie (um nicht zu sagen die Eichtheorie) kennen. Normalerweise befassen sie sich nur mit Materialwissenschaften.
@Marek: Danke für deinen Kommentar. Ich habe die Frage bearbeitet und hoffe, dass sie verdeutlicht, wonach ich frage. Natürlich kann man bei der Arbeit mit einer solchen Theorie ihren eichtheoretischen Charakter fast immer vergessen. Was ich suche, ist eine eichtheoretische Beschreibung der nichtlinearen Optik. Ich frage nicht, ob dies Berechnungen erleichtern würde :)
@Robert: Danke für die Klarstellung, aber ich bin mir immer noch nicht sicher, was du willst. Du hast gerade transkribiert $\mathbf D$ und $\mathbf H$ bezüglich $M$ aber das ändert überhaupt nichts an der Physik. Suchen Sie nur nach einem anderen Formalismus (im gleichen Sinne wie Maxwell-Gleichungen besser ausgedrückt werden in Begriffen von ${\rm d}{\mathbf F} = {\rm d}^2{\mathbf A} = 0$ und $\delta {\mathbf F} = {\mathbf j}$ )?
@Marek: Nochmals vielen Dank für Ihren geschätzten Kommentar. In der Tat, seit dem „ $M$ -Formulierung ist äquivalent zu Maxwells Gleichungen, sagen wir $dF=0$ $d*M=*\mathbf{j}$ , es gibt keine neue Physik. Ein Teil meiner Frage könnte also lauten: Können wir eine Symmetrie in der Lagrange-Materie identifizieren, die zu den bekannten Effekten der nichtlinearen Optik führt (Kerr, 2. Harm., ...)? Ich muss sagen, dass ich weder in der nichtlinearen Optik noch in der Eichtheorie Experte bin, weshalb die Frage möglicherweise nicht angemessen gestellt wird.
Sehen Sie, Sie gehen das viel zu abstrakt an. Vielleicht sollten Sie mit einem bestimmten Material mit nichtlinearen optischen Eigenschaften beginnen und sehen, wie Sie es beschreiben können. Versuchen Sie, dafür eine eichinvariante nichtlineare Feldgleichung aufzustellen. Wenn Sie das nicht können, macht es wenig Sinn, sich darüber den Kopf zu zerbrechen. Wenn Sie können, haben Sie eine Basis, um zu versuchen, zu verallgemeinern. Aber Sie werden sehr wenig erreichen, wenn Sie nicht einmal das einfachste nichtlineare Material auf diese Weise modellieren können.
Ich habe gerade das eine französische und ein deutsches Wort, das Sie in Ihrem Text verwendet haben, herausgeschnitten. :) ("Ansatz" wird manchmal in englischen Physiktests verwendet, aber nicht sehr oft, und viele werden es nicht verstehen.)
@Noldorin: Diese Wikipedia-Seite wird Ihnen nicht zustimmen. Tatsächlich begegnet mir dieses Wort beim Lesen mathematischer und physikalischer Literatur (sowohl Bücher als auch Aufsätze) viel öfter, als mir lieb ist :-) Was ist übrigens der richtige englische Begriff?
@Raskolnikov: Danke für den Vorschlag, das scheint ein guter Ausgangspunkt zu sein.
@Marek: Wie der Wikipedia-Artikel sagt, sind "Approach" oder "Setup" oder "Startpunkt" gute ungefähre englische Entsprechungen. Ich bin mir sicher, dass Sie sich bewusst sind, dass Wikipedia-Artikel zu oft schrecklich falsche/unbegründete Aussagen enthalten – hoffentlich verstehen Sie meine Beobachtung als Sprecher/Leser von Englisch. :) In der Tat sehe ich nicht wirklich den Zweck, Fremdwörter in Aufsätzen zu verwenden, wo es ein vollkommen gutes muttersprachliches Äquivalent gibt. (Im Fall des sehr seltenen „unübersetzbaren“ ist es jedoch fair genug.)
Ansatz ist in Ordnung, man könnte das Wort Postulat dafür ersetzen oder raten, wie Wikipedia vorschlägt. In seinem 2D-Ising-Papier verwendete Onsager "Eigenwert" für Eigenwert. Eigentlich wäre eine noch bessere Übersetzung "angemessener Wert". Es gibt viele deutsche Wörter, die vor allem in der Zeit vom Ende des 19. bis zum Beginn des 20. Jahrhunderts Eingang in die Wissenschaft gefunden haben. "Gedankenexperiment" ist ein anderes.
@Noldorin: ah, ich habe übersehen, dass es dort geschrieben steht. Wie auch immer, diese Begriffe erfassen nicht ganz, worum es bei Ansatz geht. @Raskolnikovs Vermutung ist viel näher. Aber das klingt zu willkürlich, während Ansatz meist einer klugen Einsicht folgt. Ich glaube, ich erinnere mich, dass einer meiner Lehrer etwas in der Art einer "begründeten Vermutung" erwähnte.
@Marek: Ja, der Wikipedia-Artikel legt das auch nahe. ;) Ich bevorzuge jedoch "Annäherung". Auf jeden Fall scheint das Wort im Englischen an Popularität zu verlieren, was nur gut ist.
@Raskolnikov: Ich würde nicht viel sagen, weit davon entfernt. Ein paar Auserwählte sogar. In der Mathematik sind ohnehin etwas mehr lateinische Wörter vorhanden. Als Engländer jedenfalls finde ich es nicht willkommen! ("Eigenwert" ist jedoch einer, der es wert ist, beibehalten zu werden.)
@Noldorin: heh, ich sollte wahrscheinlich anfangen, die von mir bereitgestellten Referenzen zu lesen :-) Ich weiß nicht, ob ich das Wort mag. Eine wirklich gute Alternative gibt es meiner Meinung nach nicht.
Ja, vielleicht gibt es keine perfekte Übersetzung ins Englische. Dennoch bin ich vorsichtig, ohne guten Grund mehr Fachjargon hinzuzufügen. Ich bin auch viel zu stolz auf die englische Sprache.
Hey Leute, ich könnte bemerken, dass das hier ein wenig vom Thema abweicht ... ja, ich bin ein Deutscher und es scheint mir vollkommen in Ordnung zu sein, die englischen Wörter (mit deutscher Abstammung) Ansatz, Bremsstrahlung, Zitterbewegung, Eigen zu verwenden * etc. in meinen Beiträgen :) Warum sollte ich nicht? Noldorin, ich vermute, du verwendest in deinen Beiträgen viel mehr Wörter aus deiner Muttersprache als ich ;)
Gut gesagt, Robert. Die Tatsache, dass Englisch zur Kommunikation von Physikforschung verwendet wird, ist derzeit . Vor ein paar hundert Jahren war es französisch und dann deutsch. Davor war es Latein. In ein paar hundert Jahren wird es wahrscheinlich eine Kombination aus Mandarin/Kantonesisch und Hindi sein.
@space_cadet: In der Tat. Vielleicht dauert es gar nicht so lange...
@Robert: Natürlich kannst du das, nur viele Leute verstehen dich vielleicht nicht! Ich habe meinen Punkt bereits klargestellt; Fremdwörter sind in Ordnung, sollten aber meiner Meinung nach nur dann wirklich verwendet werden, wenn es kein anständiges englisches Äquivalent gibt. Ich verstehe nicht einmal Ihren Punkt. Ich bin Engländer, also schreibe ich auf Englisch.
@Noldorin: Danke für deine Sorge. Aber ich denke, dass Leute, die an wissenschaftliche Literatur gewöhnt sind, mit diesen Wörtern vertraut sind. Die Ironie ist, dass die englische Sprache nicht die Muttersprache vieler Menschen hier ist; Und sobald ein Wort verwendet wird, das nicht sofort zum Wortschatz eines Muttersprachlers gehört, wird es ersetzt. Ich weiß es wirklich zu schätzen, dass Sie geholfen haben, die Dinge zu klären, aber dieses hier war eigentlich ... ziemlich lustig :)
@Robert: Ich schätze den Sarkasmus wirklich nicht. Ob Sie es glauben oder nicht, Englisch ist die Lingua Franca von heute, in der Wissenschaft und anderswo. (Was für eine Schande, dass die Nazis verloren haben, eh?) Und ja, ich habe das nur gesagt, um Godwins Gesetz zu erfüllen. Vielen Dank.
@Noldorin: Es tut mir leid, wenn ich dich beleidigt habe. Ich überbrachte die Nachricht mit einem Lächeln in der Hoffnung, dass Sie den lustigen Teil der ganzen Diskussion sehen würden. Wirklich, niemand zweifelt an Ihrem zweiten Punkt, aber ich hoffe, Sie entschuldigen sich später für den Teil in Klammern.
@Robert: Nein, es war ein Witz (und eine Tatsache), also überhaupt nicht.

Willie Wong · Answer 1

Nur ein paar zufällige Gedanken.

Es ist etwas Wichtiges in Ihrer Beobachtung, dass das Born-Infeld-Modell im Wesentlichen ein Freiraummodell ist. Boillat und Plebanski (getrennt 1970) ist bekannt, dass das Born-Infeld-Modell das einzige Modell des Elektromagnetismus ist (als Verbindung auf a $U(1)$ Vektorbündel), das die folgenden Bedingungen erfüllt

Kovarianz unter Lorentz-Transformationen
Reduziert auf die Maxwell-Gleichung in der Kleinfeldstärkengrenze
$U(1)$ Symmetrie messen
Integrierbare Energiedichte für eine Punktladung
Keine Doppelbrechung (Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Polarisation).

(Das lineare Maxwell-System versagt bei Bedingung 4.) (Siehe Michael Kiessling, "Elektromagnetische Feldtheorie ohne Divergenzprobleme", J. Stat. Phys. (2004) doi:10.1023/B:JOSS.0000037250.72634.2a für eine Erläuterung dazu und Verwandte Themen.)

Da Sie nun an nichtlinearer Optik in einem Material interessiert sind, anstatt im Vakuum, denke ich, dass die Bedingungen 1 und 5 sicher fallen gelassen werden können. (Obwohl Sie 5 als Selbstverständlichkeit beibehalten möchten.) Bedingung 4 ist intuitiv ansprechend, aber vielleicht nicht zu wichtig, zumindest nicht, bis Sie einige mögliche Theorien im Sinn haben, die Sie unterscheiden möchten. Bedingung 3 müssen Sie einhalten. Bedingung 2 hingegen hängt wirklich davon ab, welche Art von Material Sie im Sinn haben.

Auf jeden Fall ein kleiner Vorschlag: Ich persönlich halte es für besser, Ihren vorgeschlagenen Lagrangian von Anfang an als zu schreiben

L = T^{a b c d} F_{a b} F_{c d}

$L = T^{abcd} F_{ab}F_{cd}$

Anstatt von $M^{ab}F_{cd}$ . Ich denke, es ist im Allgemeinen vorzuziehen, Lagrange-Feldtheorien mit mindestens quadratischer Abhängigkeit von den Feldvariablen zu betrachten. Ein rein linearer Begriff suggeriert mir ein externes Potential, das meines Erachtens nicht in die Theorie eingebaut werden sollte.

Wenn Sie so etwas wie Bedingung 2 wollen, aber mit einer Dielektrizitätskonstante oder so, dann müssen Sie das haben $T^{abcd}$ eine Taylor-Erweiterung zugeben, die so ähnlich aussieht

T^{a b c d} = {\tilde{g}}^{a c} {\tilde{g}}^{b d} + Ö (| F |)

$T^{abcd} = \tilde{g}^{ac}\tilde{g}^{bd} + O(|F|)$

wo $\tilde{g}$ ist eine effektive Metrik für das Material. Doppelbrechung müssen Sie jedoch nicht explizit einfügen: höchstwahrscheinlich eine generische (lineare oder nichtlineare) $T^{abcd}$ Sie schreiben Doppelbrechung auf; Nur wenn Sie versuchen, es auszuschließen, werden Sie einige Einschränkungen einführen.

Es ist interessant zu überlegen, was es bedeutet, einen analogen Begriff zu Bedingung 1 zu haben. Im Fall des freien Raums impliziert Bedingung 1, dass die Lagrange-Funktion nur eine Funktion der Lorentz-Invariante sein sollte $B^2 - E^2$ (in natürlichen Einheiten) und der pseudoskalaren Invariante $B\cdot E$ . In Bezug auf den Faraday-Tensor sind diese beiden Invarianten $F^{ab}F_{ab}$ und $F^{ab}{}^*F_{ab}$ bzw. wo ${}^*$ bezeichnen das Hodge-Dual. Die Bestimmung des linearen Teils Ihrer Theorie (von elektromagnetischen Wellen in einem Material) erfolgt im Wesentlichen durch das, was Sie verwenden werden, um Bedingung 1 zu ersetzen. Wenn Sie davon ausgehen, dass Ihr Material isotrop und homogen ist, dann eine ähnliche Art von skalaren + pseudoskalaren Invarianten ist wahrscheinlich eine gute Wette.

@Willie Wong: Vielen Dank für Ihre umfangreiche Antwort. Wenn ich Ihre Argumentation richtig verstehe, kann man möglicherweise keine andere intrinsisch nichtlineare Formulierung finden, die Lorentz-invariant ist. Mit einem relativistischen Hintergrund würde ich es nicht wagen, diese Bedingung fallen zu lassen. Glaubst du, so etwas zu haben? $g\times{U(1)}$ mit einer neuen Gruppe aus der Materie-Wechselwirkung (vielleicht im Geiste der elektroschwachen Wechselwirkung) wäre ein viel besserer Ansatz? Aufrichtig
@Robert: Nun, die Wechselwirkung mit Materie wird alle möglichen neuen Dinge ergeben, aber ich vermute, dass die Rückreaktion in gewissem Sinne durch reine Nichtlinearitäten angenähert werden kann. Eine Sache, die zu beachten ist, ist Folgendes: Sie können tatsächlich eine Art Äthertheorie-Idee verwenden, um die lokale Lorentz-Invarianz zu brechen, wenn Sie die allgemeine Kovarianz für die Gesamttheorie beibehalten. Das heißt: Wenn Sie Ihr optisches Medium als eine Art flüssigen oder elastischen Körper betrachten, der sich in der Raumzeit entwickelt (möglicherweise unabhängig vom EM-Feld in der linearen Annäherung, außer durch die Schwerkraft), können Sie Ihre "optische Metrik" definieren. $T$ durch...
...Eigenschaften des optischen Mediums. Zum Beispiel im linearen Fall, sagen wir mit einem relativistisch elastischen Körper als Material, können Sie konstruieren $\tilde{g}$ aus dem Rückzug der Riemannschen Metrik auf die materielle Mannigfaltigkeit, plus einem Faktor, der von den Teilchenweltlinien kommt. Die Gesamttheorie wird im Allgemeinen kovariant sein, aber nach dem "Fixieren" des optischen Mediums erhalten Sie einen lokalen Hintergrund, der die Lorentz-Invarianz bricht. Ich würde mir also keine allzu großen Sorgen darüber machen, Bedingung 1 zu brechen. Die Lockerung der Bedingungen 4 und 5 ergibt auch viele, viele andere zulässige Lagrange-Funktionalitäten.
(Ich sollte sagen, dass das Obige von einigen neueren Arbeiten von Ted Jacobson zur Einstein-Äther-Theorie inspiriert ist, die meiner Meinung nach in gewisser Weise mit der Horava-Schwerkraft verwandt ist.)
@Willie: Vielen Dank für deine weiteren Erklärungen. Ich muss zugeben, dass mir die Vorstellung einer materiellen Mannigfaltigkeit neu ist. Ich habe immer an Entitäten gedacht, die auf einer Hintergrund-Raumzeit definiert sind, aber mit $\tilde{g}$ als Metrik dieser Mannigfaltigkeit könnte man das im Grunde weglassen $T$ Ansatz zugunsten dieses gekrümmten Materialverteilers. Ich nehme an, das einfachste Beispiel wäre Transformationsoptik mit Permittivität $\epsilon$ wie $\tilde{g}$ wenn ich nicht ganz falsch liege. Ich bin mir nicht sicher, was Sie in diesem Sinne mit Partikelweltlinien meinen; (zeitlich -> Licht) Geodäten vielleicht?
@Robert: Ach! Kurze Zusammenfassung der relativistischen Elastizität. Freizeit $(M,g)$ ist $d+1$ dimensional. Materialverteiler $(N,h)$ ist $d$ dimensional Riemann. Die Materialkarte $\Phi:M\to N$ Arbeiten wie die Euler-Lagrange-Transformation der Fluiddynamik. Wir nehmen an, dass $d\Phi$ ist on-to und der Kernel time-like. Die Partikel-Wortleitungen sind die Kurven $\Phi^{-1}(p)$ für einige $p\in N$ , es bezeichnet ungefähr die Flugbahn eines flüssigen / materiellen Partikels in der Raumzeit. Für eine mathematische Einführung siehe Tahvildar-Zedah "Relativistische und nichtrelativistische Elastodynamik mit kleinen Scherverzerrungen" ...
... hier . Oder dx.doi.org/10.1016/0393-0440(92)90028-Y von Kijowski und Magli. Auch die Zusammenfassung von Bobby Beig ist sehr lesenswert. Wenn Sie jetzt nur ein nichtlineares optisches Medium implementieren möchten, können Sie das zugrunde liegende Material so gut wie vergessen (nehmen Sie einfach an, dass es existiert und einige Eigenschaften hat) und schreiben $\tilde{g}$ zu befriedigen, was Sie wollen. Der Punkt ist, dass Sie das Brechen der Lorentz-Symmetrie rechtfertigen können , indem Sie sich auf diese Denkweise berufen.
@Willie: Vielen Dank für die Erklärungen und Hinweise. Ich erinnere mich ungefähr, dass eine solche Mannigfaltigkeit eigentlich nur dazu dient, den Ansatz zu begründen. Man definiert Projektionen und findet so etwas wie $X_\perp = d\phi{(X)} - g(X,\xi)/(g(\xi ,\xi ))\xi$ zum $\xi$ zeitgemäß und $\tilde{g}(X,Y) \equiv g(X_\perp ,Y_\perp)$ so dass alle Berechnungen tatsächlich durchgeführt werden $M$ und alles kann hineingelegt werden $\phi$ . Dies scheint ein raffinierter Ansatz zu sein, ich werde ihn auch der Frage hinzufügen, ob ich ihn mit meinen eigenen Worten formulieren kann. Meine besten Wünsche

Raskolnikow · Answer 2

Nonlinear ist ein Schlagwort, das verwendet wird, um alles abzudecken, was nicht linear ist. Je nachdem, um welche Art von Nichtlinearität und damit um welches Material es sich handelt, kann die eine oder andere Symmetrie oder gar keine Symmetrie vorliegen. In Supraleitern beispielsweise ist die Eichsymmetrie gebrochen und Photonen verhalten sich so, als ob sie eine Masse erworben hätten. Das Ergebnis ist, dass Magnetfelder nur begrenzt in den Supraleiter eindringen können. Und ich denke, das wird immer noch durch lineare Gleichungen beschrieben.

Ich kenne eine eichinvariante Theorie, die nichtlinear ist, dieses Modell heißt Born-Infeld-Modell .

Ich danke Ihnen sehr für Ihre Antwort. Die Born-Infeld-Theorie der Elektrodynamik war mir bisher nicht bekannt, sieht aber sehr interessant aus. Sie weisen auch auf eine wichtige Sache hin: Unterschiedliche Materialien haben unterschiedliche Symmetrien. Genau das sollte dazu führen, dass unterschiedliche Materialien unterschiedlichen Arten von Nichtlinearitäten gehorchen, wenn sie durch eine Eichtheorie beschrieben werden können. Im Moment konzentrieren wir uns möglicherweise nicht auf weitere komplizierte Dinge wie Symmetriebrechung, wenn dies für Sie bequem ist.

Benutzer346 · Answer 3

Sie haben einige ernsthaft interessante Fragen gestellt! Hier ist meine Meinung dazu ...

Das sagen Sie über die Born-Infeld-Aktion:

Aber wie ich es sehe, ist dieses Modell ein intrinsisch nichtlineares Modell für das Freiraumfeld selbst und nicht nützlich, um nichtlineare Wechselwirkungen zwischen Materie zu beschreiben.

Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit dem Feld "freier Speicherplatz" meinen. Ich nehme an, dass Sie sich darauf beziehen $F_{\mu\nu}$ . Nun, es gibt keinen Grund, warum man ein nicht definieren kann $F_{\mu\nu}$ für Wellen, die sich nichtlinear, innerhalb eines Mediums oder im Vakuum ausbreiten.

Die Materie-Licht-Wechselwirkung kann (zumindest teilweise, wenn nicht vollständig) durch die Form spezifiziert werden $g_{\mu\nu}$ . Jetzt ertragen Sie mich für eine Minute. Ich beziehe mich nicht auf die Metrik, die von irgendeiner Art von Materie generiert wird. Die fragliche Metrik erfüllt a priori nicht die Einstein-Gleichungen. Es ist stattdessen die effektive Metrik, die von den Lichtstrahlen erfahren wird, die sich innerhalb des gegebenen Materials ausbreiten. Siehe diese exzellenten Artikel von Ulf Leonhardt und Thomas Philbin [1] , [2] für weitere Details zu diesem Begriff. Kurz gesagt die nicht-diagonalen Komponenten $g_{ij}$ (wo $(i,j \in \{1,2,3\}\,\, i \neq j)$ codieren den Suszeptibilitätstensor und die Diagonalkomponenten $g_{0i}$ Bestimmen Sie die Mischung zwischen den elektrischen und magnetischen Komponenten der Welle.

Was die Lagrange-Dichte für die Materie-Licht-Wechselwirkung betrifft, postulieren Sie:

L_{ich n t} \propto M^{μ v} F_{μ v} = T^{μ v a β} F_{a β} F_{μ v}

$\mathcal{L}_{int} \propto M^{\mu\nu} F_{\mu\nu} = T^{\mu\nu\alpha\beta} F_{\alpha\beta} F_{\mu\nu}$

für flachen Raum (oder No-Medium) $T^{\mu\nu\alpha\beta} = g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}$ , reduziert sich dieser Begriff auf $F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}$ das ist nichts anderes als der Maxwell-Term! Auf den ersten Blick gibt uns das nichts Neues, es sei denn, wir nehmen den oben skizzierten Weg und verwenden die Metrik $g_{\mu\nu}$ um die optischen Eigenschaften des Mediums zu codieren.

Eine weitere Denkrichtung, die diesen Begriff der Metrik ausnutzt, um von einer Analogie zwischen optischen Prozessen und dem Urknall sprechen zu können, ist die phänomenale Arbeit von Igor Smolyaninov [3] . Dieses Papier wurde übrigens von PRL akzeptiert, also ist es nichts zu verachten.

Unter der Annahme, dass die obige Argumentationslinie nicht fatal fehlerhaft ist und dass man die Effekte des Mediums in der Metrik kodieren kann, scheint es, dass entweder die Maxwell- oder die Born-Infeld-Aktion für Ihre Zwecke vollkommen gute Kandidaten für eichinvariante Aktionen sind .

                                Cheers,

Bearbeiten: Nichtlinearitäts-Redux

Wie @Raskolnikov betonte, die Identifizierung der Komponenten $g_{ab}$ mit den optischen Suszeptibilitäten eines Materials ergibt kein nichtlineares Material. Dazu muss man eine Abhängigkeit der Suszeptibilitäten von den Feldstärken selbst haben. Sie haben also einen Feedback-Mechanismus $\mathbf{g} \rightarrow \mathbf{F} \rightarrow \mathbf{g}$ und damit die Nichtlinearität ! Daher im Allgemeinen, wie @robert mir erfolglos zu vermitteln versucht hat, $\mathbf{g}$ sollte im Allgemeinen eine Funktion von sein $\mathbf{F}$ .

Aber dann kommt man der Spekulation gefährlich nahe, dass das endgültige Bild (für den vollständig nichtlinearen Fall) irgendwie allgemein relativistisch sein könnte. Das ist eine sehr verlockende Idee, aber ich hebe das für ein anderes Mal auf.

@space_cadet: Danke für deine nette Antwort! Transformationsoptik und deren Interpretationsansatz sind mir irgendwie vage bewusst $\epsilon$ als Metrik. Natürlich könnte man versuchen, die Physik in diese Richtung zu lenken. Trotzdem glaube ich nicht, dass es hier funktionieren kann, da <a href=" math.stackexchange.com/questions/13902/… Fourier-Transformation nur Sinn macht, wenn man ein zeitähnliches Tötungsfeld hat</a>. Das war der Grund Ich habe versucht, es in "T" zu setzen.
Ah, schön, darauf hinzuweisen, dass Sie Nichtlinearitäten mit einer effektiven Metrik modellieren können! Das erinnert mich an einen Vortrag, den ich über Finsler-Verteiler gehalten habe . Wenn ich mich richtig erinnere, werden sie in ähnlicher Weise bei Hauptanwendungen in der Geophysik zur Ausbreitung aller Arten von seismischen Wellen verwendet (wobei man auch Longitudinalwellen hat; das ist vielleicht das, was Sie mit $g_{\mu\nu} meinen, nicht unbedingt befriedigend EFE, die Transversalwellen erfordern). Ich frage mich, ob dieser Formalismus auch für Roberts Fall angepasst werden kann.
@Robert - timelike kvf ... ?? Du machst es zu kompliziert. Sie haben ein standardmäßiges zeitähnliches kvf. Das Medium, durch das sich das Licht ausbreitet, befindet sich vermutlich in einer Hintergrundgeometrie, die nahezu flach ist, es sei denn, Ihr Labor befindet sich im Orbit um ein wirklich massives Objekt. Der tvkf in ist in diesem Fall die übliche Uhrzeit. Bei der Betrachtung dieser Probleme ist es verlockend, sich im Jargon zu verfangen. Solche Gewohnheiten sollte man nach Möglichkeit vermeiden.
@Marek - ich sollte den Vorbehalt erwähnen, dass ich nicht weiß, wie (oder ob) dieser Ansatz für dispersive Medien funktionieren kann - die einen großen Teil nichtlinearer Materialien ausmachen. Es funktioniert jedoch gut für optisch anisotrope Materialien und solche mit magnetoelektrischen Eigenschaften.
@space_cadet: Danke für deinen Kommentar, du hast völlig Recht, man sollte die Dinge nicht komplizierter machen als sie sind. Ich dachte nur, dass man die Metrik nicht anfassen sollte, da man im Gegensatz zur Transformationsoptik die Zeitabhängigkeit des Feldes für die Materialantwort (zB im Sinne einer Faltung) benötigt. Eine Änderung der Metrik (mittels des Materials) könnte bedeuten, dass eine Fourier-Transformation nicht mehr möglich ist. Können Sie anhand dieser Argumentation verstehen, dass ich die Dynamik in T erfassen möchte, obwohl eine Beschreibung in g auch funktionieren könnte?
Ich gebe auch zu, dass die Problemstellung möglicherweise nicht sehr klar ist, was es schwierig macht, die Idee zu verstehen. Tut mir leid, dass ich es jetzt nicht besser formulieren kann.
@Robert, nur eine Anmerkung: Sie verlieren die Fourier-Transformation, sobald Sie nichtlineare Effekte zulassen. Es ist kein großes Geheimnis, dass nichtlineare PDE wirklich schwierig sind und nur sehr wenige von ihnen gelöst wurden (durch Methoden wie Lax Pair und Inverse Scattering). Also bin ich jetzt ziemlich verwirrt darüber, auf welches Gefühl von Nichtlinearität Sie sich beziehen ...
@space_cadet: Mit TI meine ich den Tensor T, der von der Feldstärke F abhängt. Ich habe diese Abhängigkeitsdynamik genannt, da, wenn sie nichtlinear ist, Lösungen zu $L = <M,F> = T(F,F)$ wird nicht nur stationär sein, wenn dies eine bequeme Nomenklatur ist.
T hängt von F ab? Wie? Ist T nicht einfach gegeben durch $T^{abcd} = g^{ab} g^{cd}$ ? Nein $F^{ab}$ in diesem Ausdruck
@Marek: Danke für deinen Gedanken. Es ist vollkommen richtig, dass nichtlineare PDE's (allgemein) nicht mittels einer Fourier/Laplace-Transformation in algebraische Gleichungen transformiert werden können. Aber ich denke, wir würden es sowieso brauchen, da $D = \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$ wo jetzt $P(t) = \int_{-\infty}^{t} Y(\mathbf{E})(\tau)d\tau$ mit $Y$ eine nichtlineare Funktion zu sein, die mit dem Tensor verwandt ist $T$ .
@space-cadet, das würde nur ein "lineares Material" ergeben.
@space_cadet: Dieses T, das ich ausdrücklich in der Frage angegeben habe, ist nur ein Beispiel dafür, wie es für die Interaktion mit dem freien Raum aussehen würde. Dann haben wir eben $T(F,F) = F\wedge \star F$ und wir rekonstruieren den gewöhnlichen Freiraum-Lagrangian. Wenn jetzt $T$ kommt drauf an $F$ selbst ist die Theorie intrinsisch nichtlinear. Ich hoffe, meine Art der Erklärung ist nicht zu verwirrend.
@robert, ich folge dir irgendwie, aber ich weiß nicht, wohin du damit gehst.
@raskolnikov - das hatte ich befürchtet. Ich habe es in einem früheren Kommentar erwähnt. Ich hatte gehofft, dass niemand so genau hinsehen würde ;-) Da geht mein Kopfgeld :(
@space_cadet: Ich kann deinen Standpunkt verstehen, ich denke, es ist ein Problem, dass die Formulierung der Frage nicht sehr klar ist. Ich werde darüber nachdenken müssen, wie ich die Notation motivieren kann, vielleicht durch Berechnung eines Beispiels, wie Raskolnikov vorgeschlagen hat. Ich könnte zum Beispiel den Kerr-Effekt mit ableiten $T^{\mu\nu\alpha\beta} = \left( 1 + \lambda F^{\gamma\delta}F_{\gamma\delta} \right)\cdot g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}$ .
@Robert. Siehe meine Bearbeitung. Sie, mein Freund, sind auf etwas!
@space_cadet: Danke für die weitere Bearbeitung. Ich möchte versuchen, es Ihnen aus einer anderen Perspektive zu vermitteln :) Das Feld $F$ im Standardmodell ist aufgrund des nicht-Abelschen Charakters der zugrunde liegenden Gruppe inhärent nichtlinear. Tatsächlich kann es als eine Krümmung interpretiert werden. Aber nicht als Krümmung der Raumzeit, sondern als Krümmung des Faserbündels. Die Raumzeit wird in dieser Theorie überhaupt nicht verändert, es ist nur eine Minkowski-Hintergrundtheorie, und ich sehe sicherlich keinen Grund, die Raumzeit durch nichtlineare optische Effekte zu krümmen. Dann haben wir GR, wie Sie erwähnt haben, und alles wird messi (FT nicht definiert usw.).
@space_cadet: Nur um hinzuzufügen: Nicht ich bin, wir sind :) Ich habe vor einiger Zeit gefragt, ob eine Community-Seite eine Arbeit schreiben kann. Wenn an dieser Frage etwas dran ist, könnte es einen Versuch wert sein.
@space_cadet: Jetzt mit den Erklärungen von Willie kann ich endlich sehen, warum Sie eine neu skalierte Metrik verwenden $\tilde{g}$ . Nehmen wir an, wir hatten beide Recht, sprechen aber aus einer etwas anderen Perspektive ;) Ich werde die Idee in die Frage einbeziehen, wenn ich sie in meine eigenen Worte fassen kann. Grüße

Gregor Graviton · Answer 4

In einem Kurs zur Feldtheorie der kondensierten Materie habe ich Folgendes gelernt: Mikroskopisch sieht die Lagrange-Funktion für das elektromagnetische Feld so aus, wie es sein soll, und koppelt minimal an die Teilchenkoordinaten.

L = \sum_{ich} (\frac{m}{2} (p_{ich} - \frac{e}{c} EIN (r_{ich}))^{2} - e Φ (r_{ich}) + \dots) .

$L = \sum_i\left( \frac m2 (p_i-\frac ec \mathbf A(r_i))^2 - e\Phi(r_i) + \dots \right) .$

Auf makroskopischer Ebene kann jedoch, nachdem alle individuellen Freiheitsgrade der Partikel über das Grand Canonical Ensemble beseitigt wurden, neues Verhalten entstehen. Der effektive Lagrange -Operator für das elektromagnetische Feld im Körper kann nämlich ganz anders aussehen als ein linearer. Beispielsweise ist die effektive Wirkung für das em-Feld in einem Supraleiter

S_{eff} [EIN] = \frac{β}{2} \int d^{3} r {EIN}^{⊥} (r) (- \frac{1}{μ_{0}} \nabla^{2} + \frac{n_{s}}{m}) {EIN}^{⊥} (r)

$S_{\text{eff}}[\mathbf A] = \frac\beta2 \int d^3r \mathbf A^\perp(r) \left(-\frac 1{\mu_0}\nabla^2 + \frac {n_s}m \right)\mathbf A^\perp(r)$

wo $\mu_0$ ist die Vakuumdurchlässigkeit, $n_s$ die superfluide Dichte, $m$ die Elektronenmasse u $\mathbf A^\perp$ ist die senkrechte Komponente des Eichfelds, definiert im Fourier-Raum als $\mathbf A^\perp(q) = \mathbf A(q) - q(q\cdot \mathbf A(q))/q^2$ . Der Unterschied zur Vakuumwirkung ist der zusätzliche „Massenterm“ $n_s/m$ , was den Meissner-Effekt verursacht.

Ich nehme an, Sie fragen nach der allgemeinsten Form, die solche effektiven Aktionen haben können? Ich habe keine Antwort, aber ich sehe nicht ein, warum es überhaupt eine allgemeinste Form geben sollte.

Hallo @greg, das ist nicht das, was die Frage stellt. Es besteht keine Voraussetzung dafür, dass die fragliche nichtlineare Theorie eine wirksame Theorie ist. Auch gibt es "allgemeine Formulare" für wirksame Aktionen. Viele verschiedene mikroskopische Modell-Hamiltonianer könnten makroskopisch dieselbe effektive Theorie liefern – solange die Hamiltonianer dieselben Symmetrien teilen. Diese Eigenschaft wird als Universalität bezeichnet. Außerdem muss jede Aktion, ob effektiv oder nicht, die grundlegenden Anforderungen für Eichinvarianz (oder Invarianz unter kanonischen Transformationen) erfüllen. Dies schränkt die mögliche Form der Aktion sehr effektiv ein.
@Greg Graviton: Danke für deine Antwort. Darf ich Sie fragen, ob es zu Ihrem Kurs ein Skript im Internet gibt? Ich denke, wenn ich die Herleitung dieser makroskopisch wirksamen Wirkung in die Hände bekomme, kann ich der Frage eine neue Richtung geben.
@space_cadet: Ich denke, die Antwort ist in Ordnung. Das Problem ist, dass meine Frage nicht sehr spezifisch ist und sich nur auf eine vage Idee stützt. Ich werde tatsächlich mehr Zeit damit verbringen müssen, was leider nicht so einfach ist :)
@space_cadet: Ich dachte, dass Robert nach nichtlinearer Optik in Materie fragt. Die allgemeinste Form ist natürlich $L = f(\mathbf A,\Phi)$ mit einigen willkürlich $f$ das ist eicheninvariant, aber das ist irgendwie sinnlos. Aber wie Sie bemerken, wäre eine spezialisiertere Klassifizierung gängiger effektiver Theorien nach den mikroskopischen Hamiltonianern und ihren Symmetrien eine sehr gute Antwort. Da kenne ich mich leider nicht aus.
@Robert: Ich fürchte, es ist kein Skript verfügbar. Der Kurs folgte jedoch sehr genau dem Buch von Altland, Simons . Die effektive Aktion, von der ich spreche, ist in Gleichung (6.39), Kapitel 6.4 angegeben. Vielleicht können Sie eine elektronische Version in Ihrer Universitätsbibliothek oder anderswo herunterladen. Seien Sie gewarnt, dass ich das Buch allein nicht (auch nur ein bisschen) hätte verstehen können, ein Kurs war für mich notwendig.
@Greg: Danke für den ausdrücklichen Hinweis. Ich werde sehen, ob ich seinen Zeilen folgen kann :)

Nichtlineare Optik als Eichtheorie

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