Numerisches Lösen der 2D-Poisson-Gleichung durch FFT, richtige Einheiten

Die 2D-Poisson-Gleichung lautet:

(1)

$$\frac{d^2\varphi(x,y)}{dx^2}+\frac{d^2\varphi(x,y)}{dy^2}=-\frac{\varrho(x,y)}{\epsilon_0\epsilon}$$

Und in$k$-Raum ist es in Form von:

(2)

$$(k_x^2+k_y^2) \phi(k_x,k_y)=-\frac{\rho(k_x,k_y)}{\epsilon_0\epsilon}.$$

Um numerisch zu lösen, verwende ich komplexe FFT (FFTW-Bibliothek in C). Für Fläche der physikalischen Größe L und Gitter der Größe N (Gitterkonst. h=L/N), diskrete Koordinaten und periodische Grenzen habe ich:

(3)

$$\rho[k_x,k_y]=\frac{1}{N^2}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}\varrho[x,y]e^{-j2\pi(xk_x+yk_y)/N}$$

Ich kann beide Seiten mit multiplizieren$-\frac{1}{\epsilon\epsilon_0}$, dann teilen$\rho[k_x,k_y]$von$(k_x^2+k_y^2)$an jedem Punkt (unter Berücksichtigung, dass der FFT-Ausgang symmetrisch ist$k_{x}$= N/2 und$k_y$= N/2) Ich verstehe$\phi[k_x,k_y]$. Durch inverse FFT:

(4)

$$\varphi[x,y]=\sum_{k_x=0}^{N-1}\sum_{k_y=0}^{N-1}\phi[k_x,k_y]e^{j2\pi(xk_x+yk_y)/N}$$ Ich bekomme 2D-Potenzial, das von der Ladungsdichte herrührt $\varrho$. Aber mir fehlt ein Skalierungsfaktor in den obigen Definitionen und ich kann das nicht herausfinden. Kurz gesagt, was zu tun ist, um die SI-Einheiten in den obigen Definitionen so anzupassen, dass sie passen, sowohl in Bezug auf die Fourier-Transformation als auch auf das tatsächliche Ergebnis $\varphi$. Mein Hauptanliegen ist, dass, wenn ich die Testladung der Dichte eingebe $\varrho(x,y)=\frac{e}{h^2}\delta[x,y]$in Einheiten von $C/m^2$in der Mitte des Bereichs mit $L=10^{-6}m$Ich erwarte eine Ausgabe ähnlich dem Coulomb-Potential $\frac{1}{r}\frac{e}{4\pi\epsilon\epsilon_0}$, aber die Lösung unterscheidet sich in vielen Ordnungen. Warum?

Also denke ich, dass es ein Problem mit der Division durch k sein könnte. Was sollte k für diese Definition der diskreten Transformation sein? Zum Beispiel$k=2\pi h/L$oder$k=2\pi x/N$