Olympiade Zahlentheorie Problem Lösung Zweifel

[Iberoamerikanisch$1998]$Lassen$\lambda$sei die positive Wurzel der Gleichung$t^{2}-1998 t-1=0 .$Definieren Sie die Reihenfolge$x_{0}, x_{1}, \ldots$indem man es einstellt$x_{0}=1, \quad x_{n+1}=\left\lfloor\lambda x_{n}\right\rfloor \quad(n \geq 0)$Finden Sie den Rest wann$x_{1998}$wird durch 1998 geteilt

$1998<\lambda=\frac{1998+\sqrt{1998^{2}+4}}{2}=999+\sqrt{999^{2}+1}<1999$

$$\begin{aligned} x_{1}=1998, x_{2}=& 1998^{2} . \text { since } \lambda^{2}-1998 \lambda-1=0 \\ \lambda=1998+\frac{1}{\lambda} & \text { and } x \lambda=1998 x+\frac{x}{\lambda} \end{aligned}$$

für alle reellen Zahlen$x$.

seit$x_{n}=\left\lfloor x_{n-1} \lambda\right\rfloor$wir haben

$x_{n}<x_{n-1} \lambda<x_{n}+1, \quad \text { or } \quad \frac{x_{n}}{\lambda}<x_{n-1}<\frac{x_{n}+1}{\lambda}$

seit$\lambda>1998,\left\lfloor\frac{x_{n}}{\lambda}\right\rfloor=x_{n-1}-1 .$

wie sie fanden $\left\lfloor\frac{x_{n}}{\lambda}\right\rfloor=x_{n-1}-1$???