Zeigen Sie, dass es für jede ganze Zahl nnn ein Vielfaches von nnn gibt, das nur 0s0s0s und 1s1s1s in seiner Dezimalerweiterung hat. [Duplikat]

Kann mir bitte jemand dieses Beispiel erklären, da ich viel versucht habe, es zu verstehen, aber ich kann es nicht!

Das Problem:

Zeigen Sie, dass es für jede ganze Zahl n ein Vielfaches von n gibt, das in seiner Dezimaldarstellung nur Nullen und Einsen hat.

Die Lösung des Buches:

Lassen N eine positive ganze Zahl sein. Bedenke die N + 1 ganze Zahlen 1 , 11 , 111 , . . . , 1111 , . . . (wobei die letzte ganze Zahl in dieser Liste die ganze Zahl mit ist N + 1   1 S in seiner dezimalen Erweiterung). Beachten Sie, dass es gibt N mögliche Reste bei der Division einer ganzen Zahl durch N . Weil dort sind N + 1 Ganzzahlen in dieser Liste müssen nach dem Schubfachprinzip zwei mit dem gleichen Rest bei der Division durch vorhanden sein N . Die größere dieser ganzen Zahlen abzüglich der kleineren ist ein Vielfaches von N , die eine Dezimalerweiterung hat, die vollständig aus besteht 0 S Und 1 S .

Dieses Problem aus der Diskreten Mathematik und seiner Anwendung für Rosen

Was an dieser Lösung finden Sie verwirrend? Sollte sagen, diese Frage wurde auf dieser Seite schon oft gestellt, hier zum Beispiel.
Ich schlage vor, an einem Beispiel zu arbeiten. Versuchen N = 6 und bedenke die 7 Zahlen 1 , 11 , 111 , 1111 , 11111 , 11111 , 1111111 .
5 ist zu einfach. 10 ist die erste Zahl, die mir in den Sinn kommt. Versuchen Sie es N = 7 und 8 Zahlen 1 , 11 , 111 , 1111 , 11111 , 111111 , 1111111 .
6 ist das so einfach wie 3. Da 111 ist durch 3 teilbar, 1110 ist durch 6 teilbar.
@JCAA 6 ist nicht so einfach 3 wie Sie nie einen Rest von bekommen 0 bevor Sie die Subtraktion durchführen
@Henry: Ich habe es oben erklärt. Allgemein, A ist so einfach wie 2 A oder 5 A oder irgendein 2 k 5 M A .
Sie stellen eine Frage. Und dann gibst du eine Antwort . Also, was ist Ihre eigentliche Frage?
@fleablood meine eigentliche Frage? .. in der ersten Zeile! Ich sagte: "Kann jemand bitte dieses Beispiel erklären, da ich viel versucht habe, es zu verstehen, aber ich kann es nicht!"
Wenn das Buch es nicht erklären konnte, warum können wir es Ihrer Meinung nach? Das Buch macht für uns absolut Sinn. Damit wir es anders erklären können, müssen wir verstehen, warum Sie das Buch nicht verstehen.
".. in der ersten Zeile! Ich sagte: "Kann jemand bitte dieses Beispiel erklären, da ich viel versucht habe, es zu verstehen, aber ich kann es nicht!" Das ist keine legitime Frage, da es nichts Bestimmtes stellt. Sie haben eine Erklärung. Wenn Sie die Erklärung nicht verstehen, liegt es in Ihrer Verantwortung, genau darauf hinzuweisen, was Sie daran nicht verstehen, und eine spezifische Frage zur Klärung zu stellen.

Antworten (3)

Angenommen, sagen Sie das N = 3 . Betrachten Sie die vier Zahlen 1 , 11 , 111 , Und 1 111 . Was sind die Reste der Division dieser Zahlen durch 3 ? Sie sind 1 , 2 , 0 , Und 1 bzw. Der Rest 1 erscheint zweimal (entsprechend den Zahlen 1 Und 1 111 ). So, 1 111 − 1 ( = 1 110 ) ist ein Vielfaches von 3 .

Die gleiche Idee funktioniert mit jedem N .

Sie haben bereits eine Erinnerung erhalten 0 . Was ist der Zweck des Rests?
Dieses Argument ist das gleiche wie in OP. Sie haben nichts Neues eingeführt.
@JCAA Das ist gut, da ich überhaupt nicht die Absicht hatte, etwas Neues einzuführen. Meine Absicht war es, den Beweis zu erklären . Und da das OP meine Antwort akzeptierte, wurde dieses Ziel erreicht.
Danke schön Professor. Ihre Lösung ist 100% klar, aber ich verstehe die Frage nicht wirklich! Kannst du es bitte mit eigenen Worten umformulieren?
@Avra Das Problem besteht darin, das für jede ganze Zahl zu beweisen N , gibt es eine natürliche Zahl k so dass die Dezimalerweiterung von N × k besteht nur aus 0 's und 1 'S.
Ist das ein Widerspruchsbeweis, direkt oder kontrapositiv bitte/
@Avra Es ist ein direkter Beweis.
@JoséCarlosSantos. Danke. Sehr schnell. Durch direkten Beweis ist es also legitim, 1 Nummer hinzufügen zu müssen N + 1 obwohl die Frage sagt, wir haben N Zahlen, da die Lösung oben in der Frage sagt: "Betrachten Sie die N + 1 ganze Zahlen ".
@Avra Ich konnte den Ausdruck nicht finden „ N Zahlen“ irgendwo in der Frage.
@JoséCarlosSantos. Rechts. Also, zuletzt bitte, warum wir davon ausgehen N + 1 ganze Zahlen von allen 1 S Zum Beispiel?
@Avra Weil es funktioniert.

Ich werde die Bücherlösung für durchgehen N = 12 . Dies sollte Sie im Allgemeinen überzeugen.

Bedenke die 13 Zahlen 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; 11111 ; 111111 ; 1111111 ; 11111111 ; 111111111 ; 1111111111 ; 11111111111 ; 111111111111 ; 1111111111111 ;

Es gibt dreizehn Nummern. Sie haben jeweils einen Rest, wenn sie durch geteilt werden 12 . Es gibt nur zwölf solcher Reste, also müssen mindestens zwei gleich sein.

Die Reste sind:

1 ; 11 ; 3 ; 7 ; 11 ; 3 ; 7 ; 11 ; 3 ; 7 ; 11 ; 3 ; 7 .

Viele von ihnen sind gleich. Zum Beispiel 1111 Rest hat 7 . So 1111 = 12 k + 7 für einige k (wie sich herausstellt 1111 = 12 ∗ 92 + 7 ) Und 1111111 hat auch rest 7 . So 1111111 = 12 J + 7 für einige J (wie sich herausstellt 1111111 = 12 ∗ 92592 + 7 ).

Das bedeutet also 1110000 = 11111111 − 1111 = ( 12 ∗ J + 7 ) − ( 12 k + 7 ) = 12 J − 12 k = 12 ( J − k ) und ist ein Vielfaches von 12 .

In diesem Fall 1110000 = 1111111 − 1111 = ( 12 ∗ 92592 + 7 ) − ( 12 ∗ 92 + 7 ) = 12 ( 92592 − 92 ) = 12 ( 92500 )

Eigentlich hätten wir das beim allerersten Wiederholungsrest machen können.

11 Und 11111 beide haben Rest 11 . 11 = 0 ∗ 12 + 11 Und 11111 = 12 ∗ 925 + 11 . So 11111 − 11 = 11100 = ( 12 ∗ 925 + 11 ) − ( 0 ∗ 12 + 11 ) = 12 ( 925 − 0 ) = 12 ∗ 925 .

Und damit wir weiter hinzufügen können 0 s und multiplizieren sein 10 ....

Komplizierter wäre 111111111111 Und 111111111 beide haben 7 als Rest und 111111 Und 111 haben 3 als Reste. So 111111111111 = 12 ∗ J + 7 Und 111111111 = 12 ∗ k + 7 Und 111111 = 12 ∗ M + 3 Und 111 = 12 ∗ N + 3 So

111111111111 − 111111111 + 111111 − 111 = 111000111000 = ( 12 J + 7 ) − ( 12 k + 7 ) + ( 12 M + 3 ) − ( 12 N + 3 ) = 12 ( J − k + M − N ) und in der Tat. 111000111000 12 = 9250009250

12 ist die gleiche Schwierigkeit wie 3 : 111 ist teilbar durch 3 , So 11100 ist teilbar durch 12 (und wo wir gerade dabei sind, 111000 ist teilbar durch 24 ).
Äh ... also? Was hat das damit zu tun?
Der Fall von 3 wurde zuvor betrachtet. Der Fall von 6 auch. Was der Fall von 12 (oder 24 oder 48 oder 75) hinzufügt, ist nicht klar. Ich denke, dass diese Antwort noch schlimmer ist als die akzeptierte Antwort. Ist das "etwas"? Es hängt davon ab, ob,
Die Frage war und war nur , die Antwort des Buches zu erklären. Ich habe dies getan, indem ich ein Beispiel durchgearbeitet habe. Das ist alles, was verlangt wurde, das war alles, was ich zu tun behauptete, und das ist alles, was verlangt wurde. Ich weiß nicht, was Ihrer Meinung nach die Frage war oder was Ihrer Meinung nach eine Antwort sein sollte, aber es scheint absolut nichts anderes als die eigentlich gestellte Frage zu sein.
Das, was Sie tun wollten, wurde eine Stunde vor Ihnen von Jose Carlos Santos und noch davor in Kommentaren erledigt. Ihre Erklärung ist viel schlimmer als seine. Zum Beispiel ist es viel länger und ist überall, enthält viele zusätzliche Sachen. "Noch etwas?
@fleablood Sie haben nichts Neues hinzugefügt und Ihre Antwort ist nur eine schlechte, schlechtere Darstellung derselben Idee, die in Kommentaren und der Antwort von Jose Carlos Santos behandelt wird
Danke schön. Könnten Sie bitte erklären, warum wir für n=3 1,11,111,1111 und für n=4 1,11,111,1111,11111 usw. haben? Ich verstehe nicht wirklich, wo in den Fragen das steht? Es sagt für Ganzzahl N , zeigen, dass es ein Vielfaches gibt, das 0 und 1 in seiner Dezimalerweiterung hat. Ich weiß also nicht, woher diese Zahlen kommen N = 3 Zum Beispiel ( 1 , 11 , 111 , 1111 )?
Für N = 3 wir betrachten das erste N + 1 = 4 Zahlen: 1 , 11 , 111 , 1111 und bedenken Sie, dass die Reste wiederholt werden müssen, da wir nur haben 3 Restbestände. Die Reste sind 1 , 2 , 0 und dann wiederholen wir 1 . Für N = 4 Betrachten Sie die für N + 1 = 5 Zahlen: 1 , 11 , 111 , 1111 , 11111 und bedenken Sie, dass die Reste wiederholen müssen, wie wir nur haben 4 Restbestände. Und die Reste sind 1 , 3 , 3 , 3 , 3 und erhalten, dass die Reste wiederholen . ....
Um eine Zahl zu erhalten, die durch teilbar ist 3 Wir nehmen zwei der Zahlen, die bei der Division durch den gleichen Rest haben 3 . Ex. 1111 Rest hat 1 Und 1 Rest hat 1 und subtrahiere sie so 1111 − 1 = 1110 wird Rest haben 0 Und 3 | 1110 . Dasselbe tun für 4 wir können zwei beliebige mit Rest nehmen 3 . Sagen 11111 Und 111 Und 11111 − 111 = 11000 wird Rest haben 0 Und 4 | 11000 .
Oder für die Nummer 29 wenn wir überlegen 1 , 1 2 = 11 , 1 3 = 111 , 1 4 = 1111 , . . . . , 1 30 = 111.....1 ⏟ 30 . Nun betrachten wir die 30 Restbestände. R 1 = 1 , R 2 = 11 , R 3 = 24 (der Rest von 111 ÷ 23 Ist 24 ... R 4 = 9 usw... bis zu R 30 . So wie es sie gibt 30 solch R k und nur 29 mögliche Reste zwei davon R k Und R J müssen einander gleich sein. (Wie sich herausstellt R 1 = R 29 = 1 Und R 2 = R 30 = 11 ). Die Mittel ICH k − ICH J wird Rest haben R k − R J = 0 Und 29 | ICH k − ICH J = 111.....1 ⏟ k − ich 000....0 ⏟ J .
@Flohblut. Fantastisch! Vielen Dank.

So habe ich mir das immer erklärt: Sei n eine positive ganze Zahl. Betrachten wir n+1 Zahlen der Form 1, 11, 111, 1111, 1111 .... wobei die letzte ganze Zahl in dieser Liste eine ganze Zahl mit n+1 Einsen ist.

Nach dem Schubladenprinzip müssen in dieser Liste von n+1 Zahlen mindestens 2 Zahlen stehen, die bei Division durch n den gleichen Rest haben.

Diese Zahlen seien a & b.

a = 1...1 = Qn + r, wobei Q eine ganze Zahl und r eine ganze Zahl < n ist

b = 1.....1 - Q'.n + r, wobei Q' eine ganze Zahl ist und r eine ganze Zahl < n ist (r ist ein gemeinsamer Rest)

b > a

b - a = 111...11...11 - 11..111 = 111...00..000 = n(Q' - Q) + r - r = n.(Q' - Q)

=> b - a ist ein Vielfaches von n, das nur 0 und 1 in seiner Dezimalstelle hat.

Zeigen Sie, dass es für jede ganze Zahl nnn ein Vielfaches von nnn gibt, das nur 0s0s0s und 1s1s1s in seiner Dezimalerweiterung hat. [Duplikat]
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