Paarproduktion - rechnerisch?

Question

Paarproduktion - rechnerisch?

71GA

Überall im Web sehe ich nur eine ähnliche Aussage wie diese:

Im Vakuum ist keine Paarbildung möglich, es wird ein 3. Teilchen benötigt, damit die Impulserhaltung gilt.

Nun, keiner von vielen Schreibern zeigt, wie man das mathematisch beweist. Also das interessiert mich hier.

Zuerst wollte ich wissen, ob die Paarbildung wirklich nicht im Vakuum stattfinden kann , also habe ich ein Bild gezeichnet und Gleichungen für die Energieerhaltung und die Impulserhaltung verwendet, um die Energie eines Photons zu berechnen $(h \nu)$ für die Paarproduktion benötigt.

Es stellt sich heraus $h\nu$ ist anders, wenn ich es aus energieerhaltung oder impulserhaltung berechne. Und noch mehr! Es kann niemals dasselbe sein, denn Gleichheit würde Teile bedeuten $v_1 \cos \alpha$ Und $v_2 \cos \beta$ sollte gleich Lichtgeschwindigkeit sein $c$ . Nun, das kann nicht passieren.

Unten ist meine Ableitung.

Paarproduktion

ENERGIEERHALTUNG:

\begin{aligned} W_{1} & = W_{2} \\ W_{F} & = W_{e^{-}} + W_{e^{+}} \\ H v & = W_{k e^{-}} + W_{0 e^{-}} + W_{k e^{+}} + W_{0 e^{+}} \\ H v & = [M_{e} C^{2} γ (v_{1}) - M_{e} C^{2}] + M_{e} C^{2} + [M_{e} C^{2} γ (v_{2}) - M_{e} C^{2}] + M_{e} C^{2} \\ H v & = M_{e} C^{2} γ (v_{1}) + M_{e} C^{2} γ (v_{2}) \\ H v & = M_{e} C^{2} [γ (v_{1}) + γ (v_{2})] \end{aligned}

$\scriptsize \begin{split} W_{1} &= W_{2}\\ W_f &= W_{e^-} + W_{e^+}\\ h\nu &= W_{ke^-} + W_{0e^-} + W_{ke^+} + W_{0e^+}\\ h\nu &=\left[m_ec^2 \gamma(v_1) - m_ec^2\right] + m_ec^2 + \left[m_ec^2 \gamma(v_2) - m_ec^2\right] + m_ec^2\\ h\nu &=m_ec^2 \gamma(v_1) + m_ec^2 \gamma(v_2)\\ h\nu &=m_ec^2 \left[\gamma(v_1) + \gamma(v_2) \right]\\ \end{split}$

IMPULSERHALTUNG:

$y$ Richtung:

\begin{aligned} P_{1} & = P_{2} \\ 0 & = P_{e^{-}} Sünde a - P_{e^{+}} Sünde β \\ 0 & = M_{e} v_{1} γ (v_{1}) Sünde a - M_{e} v_{2} γ (v_{2}) Sünde β \\ Wenn a = β ⟹ v_{1} = v_{2} Und: \end{aligned}

$\scriptsize \begin{split} p_{1} &= p_{2}\\ 0 &= p_{e^-} \sin \alpha - p_{e^+} \sin \beta \\ 0 &= m_e v_{1} \gamma(v_{1}) \sin \alpha - m_e v_{2} \gamma(v_{2}) \sin \beta\\ &\text{If $\boxed{\alpha = \beta} \Longrightarrow \boxed{v_1 = v_2}$ and:} \end{split}$

\begin{aligned} 0 = 0 \end{aligned}

$\begin{split} \scriptsize 0 = 0 \end{split}$

$x$ Richtung:

\begin{aligned} P_{1} & = P_{2} \\ \frac{H}{λ} & = P_{e^{-}} \cos a + P_{e^{+}} \cos β \\ \frac{H v}{C} & = M_{e} v_{1} γ (v_{1}) \cos a + M_{e} v_{2} γ (v_{2}) \cos β \\ H v & = M_{e} C [γ (v_{1}) \underset{\neq C}{\underset{⏟}{v_{1} \cos a}} + γ (v_{2}) \underset{\neq C}{\underset{⏟}{v_{2} \cos β}}] \end{aligned}

$\scriptsize \begin{split} p_{1} &= p_{2}\\ \frac{h}{\lambda} &= p_{e^-} \cos \alpha + p_{e^+} \cos \beta \\ \frac{h \nu}{c} &= m_e v_{1} \gamma(v_{1}) \cos \alpha + m_e v_{2} \gamma(v_{2}) \cos \beta\\ h \nu &= m_e c \Big[ \gamma(v_1) \underbrace{v_{1} \cos \alpha}_{\neq c} + \gamma(v_{2}) \underbrace{v_{2} \cos \beta}_{\neq c} \Big] \end{split}$

Alle zusammen:

Denn Schwung rein $y$ Richtung gleich 0 (gilt für einige Kombinationen von $\alpha, \beta, v_1, v_2$ ) Das gesamte Momentum entspricht nur dem Momentum in $x$ Richtung. Wenn ich sie also hinzufüge, bekomme ich:

H v = M_{e} C [γ (v_{1}) \underset{\neq C}{\underset{⏟}{v_{1} \cos a}} + γ (v_{2}) \underset{\neq C}{\underset{⏟}{v_{2} \cos β}}]

$\scriptsize h \nu = m_e c \Big[ \gamma(v_1) \underbrace{v_{1} \cos \alpha}_{\neq c} + \gamma(v_{2}) \underbrace{v_{2} \cos \beta}_{\neq c} \Big]$

Daraus kann ich nur schließen, dass ich Energieerhaltung und Impulserhaltung nicht gleichzeitig erfolgreich anwenden kann und daher keine Paarbildung im Vakuum stattfinden kann.

FRAGE 1: Warum geben Autoren an, dass ein drittes Teilchen benötigt wird, damit die Impulserhaltung gilt? Was ist, wenn die Impulserhaltung gilt und die Energieerhaltung nicht? Wie können wir sagen, welches gilt und welches nicht?

FRAGE 2: Meinen die Autoren tatsächlich, dass wir es erreichen können, wenn ein drittes Teilchen enthalten ist? $h \nu$ in beiden Fällen übereinstimmen?

FRAGE 3: Kann mir jemand mathematisch zeigen, wie das gemacht wird? Ich meine, es sollte richtig sein?

luksen

Duplikat: physical.stackexchange.com/q/13513

Antworten (2)

Paarproduktion - rechnerisch?

Emilio Pisanty · Answer 1

Energieerhaltung und Impulserhaltung können nicht wirklich getrennt werden, da Energie und Impuls nur unterschiedliche Komponenten eines relativistischen 4-Vektors sind; Verschiedene Trägheitsbeobachter werden diesen 4-Impuls auf unterschiedliche Weise in Energie und Impuls "aufteilen", ähnlich wie sie die Raumzeit auf unterschiedliche Weise in Raum und Zeit "aufteilen".

Der wahre Grund, warum eine spontane Paarbildung nicht stattfinden kann, liegt darin, dass in der Minkowski-Raumzeit zwei zukunftsgerichtete zeitähnliche Vektoren (wie die 4-Impulse des erzeugten Paares) immer zu einem zukunftsgerichteten zeitähnlichen Vektor hinzugefügt werden müssen. Davon kann man sich durch graphische Betrachtung der Vektoren, die im Inneren des zukunftsgerichteten Zeitkegels liegen, überzeugen und natürlich auch analytisch zeigen. (Wenn ich mich richtig erinnere, hat die Geometrie der Minkowski-Raumzeit von Gregory Naber einen schönen Beweis dafür.)

Dieser Gesamt-4-Impuls muss wegen der (untrennbaren) Erhaltungen von Impuls und Energie gleich dem Anfangs-4-Impuls des Photons sein. Der 4-Impuls des Photons ist jedoch ein lichtartiger (Null-)Vektor, was die spontane Paarbildung ausschließt.

Warum ist also eine „unterstützte“ Paarbildung möglich? Wenn Sie ein drittes Teilchen haben, dann muss die endgültige Situation drei zeitähnliche, zukunftsgerichtete zeitähnliche 4-Impulse berücksichtigen, sodass der gesamte 4-Impuls wie zuvor zeitähnlich und zukunftsgerichtet ist. Der anfängliche 4-Impuls hingegen ist nun die Summe eines lichtartigen, zukunftsgerichteten (des Photons) und eines zeitartigen, zukunftsgerichteten (des dritten Teilchens), und dies ergibt einen zeitähnlichen Vektor. So kann eine unterstützte Paarproduktion stattfinden.

twistor59 · Answer 2

Frage 3:

Der Einfachheit halber eine Zeit- und zwei Raumdimensionen (t, x, y). Photon, das in +x-Richtung wandert. Photon vier Impuls ist $(\frac{E}{c}, p_x, 0)$ . Es ist also null

\frac{E^{2}}{C^{2}} - P_{X}^{2} = 0

$\frac{E^2}{c^2}-p_x^2=0$ So

P_{X} = \frac{E}{C}

$p_x = \frac{E}{c}$

E = h ν

$E=h\nu$ , also ist der Impuls des Photons vier

(\frac{h ν}{c}, \frac{h ν}{c}, 0)

$(\frac{h\nu}{c}, \frac{h\nu}{c}, 0)$

Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass das Elektron/Positron in gleichen Winkeln zur x-Achse emittiert wird. Einer von ihnen (das Elektron sagen) hat vier Impulse

(\frac{E_{e}}{C}, P_{e} C Ö S ϕ, P_{e} S ich N ϕ)

$(\frac{E_e}{c}, p_ecos\phi, p_esin\phi)$ was, da es zeitgemäß ist, befriedigt

\frac{E_{e}^{2}}{C^{2}} - P_{e}^{2} = M_{e}^{2} C^{2}

$\frac{E_e^2}{c^2}-p_e^2 = m_e^2c^2$ Impulserhaltung in x-Richtung:

\frac{H v}{C} = 2 P_{e} C Ö S ϕ = 2 γ_{v} M_{e} v C Ö S ϕ (0)

$\frac{h\nu}{c} = 2p_ecos\phi = 2\gamma_vm_evcos\phi \ \ (0)$ Wo

v

$v$ ist die Elektron/Positron-Geschwindigkeitsgröße. So

H v = 2 γ_{v} M_{e} v C C Ö S ϕ (1)

$h\nu = 2\gamma_vm_ev \ c \ cos\phi \ \ (1)$ So klar

H v < 2 M_{e} C^{2}

$h\nu < 2 m_e c^2$ Allerdings muss das Photon mindestens die Ruhemassen Elektron und Positron liefern , also

H v > 2 M_{e} C^{2} (2)

$h\nu > 2m_e c^2 \ \ (2)$ Damit (1) erfüllt ist, muss der x-Impuls also woanders hingegangen sein. Der nukleare Rückstoß erklärt dies.

So will ich es! Aber ich muss dir noch 2 Fragen stellen. (1) Im ersten Teil der Erklärung wollte ich nur zeigen, dass der Photonenimpuls berechnet werden kann als $p_f = \frac{E}{c}$ ? (2) Warum sagen Sie das so oft? $\frac{E^2}{c^2}-p^2 = m^2c^2$ gilt für die Zeit wie Vektoren? Ist das sehr wichtig? Warum?
Ja, die Tatsache, dass der Impuls des Photons vier null ist, lässt Sie ableiten, dass sein x-Impuls E / c ist. Die zeitliche Beziehung für das Elektron/Positron ist das, was Sie brauchen, um zu (1) zu gelangen, und wenn Sie sich dann die Größen aller Faktoren in (1) ansehen, gelangen Sie dorthin $h\nu < 2m_ec^2$
Wenn Sie sagen "x Impuls muss woanders hingegangen sein", meinen Sie den x Impuls eines Photons vor der Kollision?
Ja, durch Ungleichung (2) kennen wir den Photonenimpuls $\frac{h\nu}{c}$ muss mindestens $2m_ec$ , also wenn es anfangs so groß ist, dann muss es etwas an einen anderen Körper gegeben haben, um es auf den Wert zu bringen, der durch Gleichung (0) impliziert wird.

Paarproduktion - rechnerisch?

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luksen

Antworten (2)

Emilio Pisanty

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