Warum scheint die relativistische Impulsformel nicht mit Kollisionen vereinbar zu sein?

Die relativistische Formel für Impuls lautet

P = M v 1 − v 2 C 2 .

Im folgenden Beispiel wende ich die Formel so einfach wie möglich auf die Addition von Geschwindigkeiten an. Ich berechne den Impuls vor dem Stoß, P 0 , und der Impuls nach dem Stoß, P 1 . Wenn ich diese Formeln blind verwende, komme ich zu dem Schluss, dass P 0 ≠ P 1 . Ich vermute, dass die meisten Anfänger der Speziellen Relativitätstheorie dieses Argument nicht bemängeln könnten; Es ist daher eine Antwort wert und von breitem Interesse für die Stack Exchange-Community.

Betrachten Sie zwei Masseobjekte M zunächst in Ruhe, die sich nach einiger Verbrennung mit Geschwindigkeit voneinander entfernen v im Positiven X Richtung und negativ X Richtung. Bewegen Sie sich zu dem Bezugssystem, das sich mit Geschwindigkeit bewegt v im Positiven X Richtung in Bezug auf die Ausgangsposition der ruhenden Blöcke.

Vor der Kollision ist die scheinbare Geschwindigkeit der beiden in Ruhe verbundenen Objekte − v . Deshalb, \

P 0 = − 2 M v 1 − v 2 C 2 .

Nach der Kollision bewegt sich das Objekt positiv X Die Richtung erscheint in Bezug auf das Bezugssystem stationär. Wendet man die Formel für die Addition von Geschwindigkeiten an, ist die Geschwindigkeit des sich bewegenden Objekts negativ X Richtung ist,

v − = − 2 v 1 + v 2 C 2 .

Daher ist der Gesamtimpuls des Systems

P 1 = M v − 1 − v − 2 C 2 = − 2 M v 1 − v 2 C 2 .

Somit ist klar, P 0 ≠ P 1 .

Bevor Sie diese Frage schließen, geben Sie bitte eine sorgfältige Begründung an und erklären Sie deutlich, warum Sie diese Begründung für falsch hielten.
Die Auflösung ist, dass die Ruhemasse M der Reaktanden können sich bei relativistischen Stößen ändern. Ihr Beispiel hätte beispielsweise den Prozess beschreiben können μ + μ − → e + e − während dessen der Parameter M in deinen Formeln ändert sich ab M μ Zu M e .
Dies ist auch eine viel besser geschriebene Frage als Ihre vorherige! Danke für die Verbesserung.
Ok – Elektronen sind in Ordnung – aber was ist mit Blöcken? In der Newtonschen Physik glauben wir an die Idee, dass man zwei Blöcke gleichzeitig in Ruhe haben kann. Dann gibt es eine "Explosion" und sie bewegen sich mit gleicher und entgegengesetzter Geschwindigkeit auseinander. Was ist an dieser Geschichte für einen Relativitätsphysiker naiv?
Diese Geschichte muss der Energieerhaltung gehorchen, also muss die Endenergie irgendwo hergekommen sein – in diesem Fall von der inneren Energie der Objekte vor der Kollision. Das Neue an der Relativitätstheorie ist, dass diese Energie, die die ganze Zeit in den Objekten steckte, vor der Kollision zu ihrer Masse beiträgt E = M C 2 .
In der Tat eine viel bessere Formulierung der Frage. Ich habe Ihnen Gleichungen in getrennten Zeilen im üblichen Satz gesetzt ( $$ ... $$für Blocksatz verwenden). sowie das Hinzufügen einiger Tags.
Sie scheinen zu sagen, dass es keine Möglichkeit gibt, von zwei Blöcken in Ruhe zu zwei Blöcken zu gelangen, die sich auseinander bewegen, ohne Masse zu zerstören. Können wir nicht eine herkömmliche chemische Verbrennung verwenden, bei der keine Masse zerstört wird? Gibt es wirklich keine Möglichkeit mit Federn etc.?
Bei herkömmlichen chemischen Sprengstoffen geht Masse verloren. Es ist nur ein so kleiner Bruchteil, dass Sie sich unter den meisten Bedingungen keine Gedanken darüber machen müssen. Wenn Sie jedoch vorschlagen, den beiden Massen relativistische Geschwindigkeiten zu verleihen, müssen Sie dies im Auge behalten.
Es könnte hilfreich sein zu wissen, dass eine der Möglichkeiten, den Ausdruck für den relativistischen Impuls aus Grundprinzipien zu entwickeln, eine Berechnung des Verhaltens eines streifenden, elastischen Stoßes beinhaltet. Das macht Ihren Aufbau hier interessant, weil es sich um eine unelastische Wechselwirkung handelt, aber das bedeutet, dass Sie verfolgen müssen, was mit der Energie passiert, wie @knzhou sagt.
Können wir Energie vor der Explosion nicht auf andere Weise als Masse speichern? Gibt es nicht andere Energieformen als Masse – zB die potentielle Energie einer gewickelten Feder? Können wir nicht an jedem Block eine Feder anbringen und die beiden Federn zusammendrücken?
Ja, und die komprimierte Feder hat mehr Masse als wenn sie nicht komprimiert ist!
Beachten Sie, dass Energie-Impuls einen Vierervektor bilden und dass Masse (innerhalb der richtigen Faktoren von C ) die Größe dieses Vierervektors ( M C 2 ) 2 = E 2 − ( P → C ) 2 . Energie ohne Impuls ist Masse und es gibt keine Möglichkeit, dem Ergebnis auszuweichen.
Wenn Sie eine andere Energie als die 2 Massen in Betracht ziehen, was im Prinzip möglich ist, ändern Sie die Natur des Problems (auch wenn Massen erhalten bleiben). Insbesondere ist die Gesamtenergie Ihres Systems aufgrund der 2 Massen (E+2m im Systemruherahmen, wobei E die in Ihrer Feder gespeicherte Energie ist) anders als nur die. Da die Impulsumwandlung in Energie und Impuls tatsächlich linear ist, mischen Sie diese Größen am Ende.
Ok – was ist mit zwei Elektronen , die einen Angström voneinander entfernt sind. Zunächst in Ruhe, entfernen sie sich durch elektromagnetische Abstoßung voneinander. Wo ist die verlorene Masse?
Die beiden Elektronen hielten in Ruhe einen Abstand R voneinander haben mehr Masse als 2 M e von k e 2 / ( R C 2 ) (dh die elektrische potentielle Energie dividiert durch C 2 ). Sie können der zusätzlichen Energiesache wirklich nicht ausweichen. Berechnen Sie stattdessen die Impulsbilanz, wenn Sie diese zusätzliche Masse in den Anfangszustand einbeziehen.
Der gesamte Inhalt dieser Frage war in der vorherigen Frage enthalten. Die einzigen Unterschiede zwischen den beiden sind: 1) In der früheren Version gab das OP ein bestimmtes Beispiel (mit v = .6), während er hier ging v nicht spezifiziert. An der Qualität der Frage ändert dies nichts; Tatsächlich war die frühere Version wahrscheinlich etwas einfacher zu lesen. Und 2) Dieses Mal scheinen sich die Leute die Mühe gemacht zu haben, die Frage zu lesen, bevor sie zum Schließen stimmen.

Antworten (1)

Betrachten wir den Rahmen, in dem zunächst beide Massen ruhen, als den Rahmen Ö . Im Rahmen Ö , Die Impulserhaltung wird wegen der Symmetrie des Problems trivial befolgt. Für die Energieeinsparung benötigen wir das M = M 1 − v 2 , Wo M ist die anfängliche Ruhemasse jedes der Teilchen und M ist die endgültige Ruhemasse jedes der Teilchen.

Betrachten wir nun die Situation aus der Sicht eines Beobachters Ö ' sich mit einer Geschwindigkeit bewegen v im Positiven X Richtung. In diesem Rahmen liegt die Anfangsdynamik

P ich = − 2 M v 1 − v 2

und der endgültige Schwung ist

P F = M ( − 2 v 1 + v 2 ) 1 − ( − 2 v 1 + v 2 ) 2 = − 2 M v 1 − v 2 = − 2 M v 1 − v 2
Wenn M = M 1 − v 2 , was mit dem übereinstimmt, was wir aus der Energieeinsparung in abgeleitet haben Ö .

Für Ö ' , die Anfangsenergie ist

E ich = 2 M 1 − v 2

und die Endenergie ist

E F = M 1 − ( − 2 v 1 + v 2 ) 2 + M = 2 M 1 − v 2 = 2 M 1 − v 2
für M = M 1 − v 2 , was wiederum mit allen vorangegangenen Überlegungen übereinstimmt.

Wenn wir also die Änderung der Ruhemasse der Teilchen aufgrund der Änderung ihrer Struktur während der Verbrennung (oder eines anderen Prozesses, der sie beschleunigt) berücksichtigen, können wir sehen, dass in beiden Rahmen sowohl die Energie- als auch die Impulserhaltungsgesetze konsistent eingehalten werden können .

Warum scheint die relativistische Impulsformel nicht mit Kollisionen vereinbar zu sein?
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