Physikalische Interpretation von Mandelstam-Variablen

Ja, sie sind mit dem verwandt$s,t$Und$u$Kanäle, wie Sie sagen. Stellen Sie sich einen Streuprozess vor, bei dem die ankommenden Teilchen vier Impulse haben$p_1$Und$p_2$während die Teilchen, die ausgehen, Impulse haben$p_3$Und$p_4$. Dann gibt es schematisch drei Möglichkeiten, wie der Prozess stattfinden kann, wie in der folgenden Abbildung beschrieben.

• $s$-channel : Die beiden Partikel "verschmelzen" zu einem virtuellen Zwischenpartikel, das sich schließlich in die beiden Endpartikel aufspaltet. Beachten Sie, dass wir für den Impuls haben, da der Viererimpuls an jedem Scheitelpunkt erhalten bleibt$q$des Zwischenteilchens

  $$q^2=(p_1+p_2)^2=s$$ Außerdem sind da die Vier-Impulse$p_i=(E_i,\vec{p}_i)$und der Massenmittelpunktrahmen wird durch die Beschränkung definiert$\vec{p}_1=-\vec{p}_2$hat man $$s=(p_1+p_2)^2=|(E_1,\vec{p}_1)+(E_2,\vec{p}_2)|^2=|(E_1,\vec{p}_1)+(E_2,-\vec{p}_1)|^2=|(E_1+E_2,\vec{0})|^2=E^2$$ Wo$E$ist die Gesamtenergie der beiden Teilchen im Com-Rahmen.

• $t$-channel : Das Teilchen$1$emittiert ein virtuelles Teilchen und wird dabei zum Teilchen$3$. Das virtuelle Teilchen wird von dem Teilchen absorbiert$2$, das sich als Folge dieser Wechselwirkung in ein Teilchen verwandelt$4$. Da hatte das erste Teilchen Impuls$p_1$vor der Emission und Teilchen$3$hat Schwung$p_3$, die Differenz davon muss in das emittierte virtuelle Teilchen geflossen sein, das somit (quadratischen) Impuls hat

  $$q^2=(p_1-p_3)^2=t$$ Beachten Sie, dass Sie auf die gleiche Weise über die Absorption durch das Partikel nachdenken$2$das finden wir auch $$q^2=(p_4-p_2)^2=t$$ Wir können dann sagen, dass das Teilchen$1$hat den Schwung "verloren".$q$, die auf das Teilchen übertragen wurde$2$.

• $u$-channel : Wie Sie auf dem Bild sehen können, ist die$u$Kanal ist analog zu dem$t$Kanal mit den Rollen von$p_3$Und$p_4$ausgetauscht. Daher können wir immer noch interpretieren$u$als Impulsübertragung vom Teilchen$1$zu Teilchen$2$.