Schwerpunktrahmen für masselose Teilchen

Nach der Newtonschen Definition würde das Photon aufgrund seiner Nullmasse nicht zählen, aber dies ist eine relativistische Kollision, daher benötigen Sie eine relativistische Definition des Massenmittelpunkts. Relativistisch gesehen ist der cm-Rahmen derjenige, in dem der Gesamtimpuls-Viervektor des Systems rein zeitartig ist. Nein, das stimmt nicht mit dem Rahmen des Elektrons überein.

Was Sie beschreiben, ist Compton-Streuung. Im cm-Rahmen werden sowohl das Elektron als auch das Photon um 180 Grad mit der gleichen Energie gestreut, mit der sie hereingekommen sind.

Um den cm-Rahmen zu bestimmen, addieren Sie die Impuls-Vier-Vektoren und normalisieren Sie das Ergebnis. Dies ist der Geschwindigkeits-Vier-Vektor des cm-Beobachters.

Es gibt Fälle, in denen diese Definition versagt. Wenn das System beispielsweise aus einem einzelnen Lichtstrahl besteht, dann ist der Impuls-Vier-Vektor lichtartig, sodass Sie ihn nicht normalisieren können; es gibt keinen Bezugsrahmen, in dem es ruht. Aber wenn Ihr System zB aus zwei Lichtstrahlen besteht, die sich in verschiedene Richtungen bewegen, dann gibt es einen cm-Rahmen.

Der Bezugsrahmen des Massenmittelpunkts ist per Definition derjenige, in dem sich die Gesamtheit befindet$3$-Impuls verschwindet. Es existiert fast immer auch für masselose Teilchen, wie ich besprechen werde.

Die Summe$4$-Schwung$P$eines Systems von$N$ freie Teilchen ist die Summe ihrer$4$-Impulse der Teilchen, dh

$$P = \sum_{a=1}^N P_{(a)}\:,$$ wo jeweils $P_{(a)}$ist eine nicht verschwindende , zukunftsgerichtete , kausale $4$-Vektor (dh es ist entweder zeitartig oder lichtartig).

Nach den Standardeigenschaften der Summen der kausalen Vektoren für$N\geq 2$, das merkt man$P$ist ebenfalls kausal, und es kann nicht lichtartig sein, es sei denn, alles$4$-Impulse des Systems$P_{(a)}$sind parallel und leicht. Wenn mindestens ein Teilchen nicht masselos ist, wie in dem von Ihnen betrachteten Fall,$P$stellt sich als zeitähnlich heraus und somit ist der Massenmittelpunkt wohldefiniert.

In der Tat, wenn die Summe$4$Schwung$P$ist zeit- und zukunftsgerichtet (bis zu$4$-Translationen und räumliche Rotationen, die sich kinematisch nicht ändern) gibt es ein zukunftsorientiertes Minkowski-Bezugssystem (*) dessen zeitliche Achse$\partial_t$überprüft$P = k \partial_t$für einige$k>0$.

In diesem Bezugsrahmen$P$hat keine Komponenten senkrecht zu$\partial_t$. Mit anderen Worten, die$3$-Impuls verschwindet. Das ist der Bezugsrahmen des Massenzentrums des physikalischen Systems.

Dass auch ein System masseloser Teilchen einen Massenschwerpunkt hat (mit Ausnahme des oben aufgezeigten Falls), sollte nicht überraschen, da die (invariante) Masse der Teilchen hier keine Rolle spielt . Anders als im klassischen Fall kommt es auf die Energie an , die auch für Photonen streng positiv ist. Lassen Sie uns diese Tatsache veranschaulichen. Im klassischen Bild muss man wo einen Referenzrahmen suchen

$$\vec{0} =\sum_{a=1}^N m_a \vec{v}_a\:.$$

Stattdessen ist im relativistischen Bereich die relevante Gleichung

$$\vec{0} = \sum_{a=1}^N \vec{P}_a = \sum_{a=1}^N E_a\vec{v}_a$$

bei dem die$4$-Impuls wird in seine energetische (zeitliche) Komponente und seine zerlegt$3$-Impuls (räumliche) Komponenten als

$$P_a = (E_{(a)}, \vec{P}_{(a)})$$ (Ich nehme an $c=1$) und folglich die $3$-Geschwindigkeit ist $$\vec{v}_{(a)}= \frac{\vec{P}_{(a)}}{E_{(a)}}\:.$$

Sie sehen, auch wenn einige der Teilchen Photonen sind, haben wir$E_{(a)}>0$, Weil$E_{(a)}^2 - \vec{P}^2_{(a)}=0$und$P_{(a)}\neq 0$In diesem Fall.

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(*) Dies ist eine Folge der Tatsache, dass die orthochrone Lorentz-Gruppe bis auf Dilatationen$O(3,1)_+$wirkt transitiv im Inneren des zukünftigen Lichtkegels.

Das Argument „Photon hat keine Masse“ ist aus mindestens zwei Gründen von Natur aus fehlerhaft. Erstens lautet die exakte Formulierung „Invariante Masse des Photons ist gleich 0“. Das bedeutet nicht, dass die Menge undefiniert ist. Es ist definiert, hat aber den Wert Null.

Zweitens summiert sich die invariante Masse in der Relativitätstheorie nicht einmal für nicht wechselwirkende Teilchen (ist keine umfangreiche Größe). Die unveränderliche Masse eines Systems aus mehreren nicht wechselwirkenden Teilchen ist größer oder gleich der Summe der Masse der Bestandteile, und der „gleiche“ Fall tritt nur auf, wenn alle 4-Impulse parallel sind (Massenschwerpunkte der Bestandteile haben in einigen Bezug die Geschwindigkeit Null). Rahmen für massive Bestandteile, parallele Bewegung für masselose Bestandteile und tritt nie auf, wenn es sowohl massive als auch masselose Bestandteile gibt). Ja, ein massives Teilchen und ein emittiertes Photon haben zusammen immer eine größere Masse als das Teilchen allein. Für den aktuellen Fall nicht relevant, nur fürs Protokoll: Für wechselwirkende (nämlich anziehende) Körper kann dieser Massendefekt beide Vorzeichen haben.

Ein anderer Ansatz: Sie müssen nicht spekulieren, wie klein die Masse des Photons ist (falls vorhanden), während sein Impuls definitiv nicht Null ist.

Werfen Sie also den Gedanken „Photon kann ignoriert werden“ weg und berechnen Sie die Impulse.