Paritätsinvarianz von Einstein, Maxwell und Dirac Lagrange

Parität ist eine Symmetrie, die wir der Dirac- und Maxwell-Lagrange-Funktion auferlegen, weil wir experimentell wissen, dass der Elektromagnetismus die Parität erhält. Wenn Sie die Paritätsinvarianz fordern, erfahren Sie dann, wie sich Dirac-Spinoren und -Vektoren unter einer solchen Symmetrie transformieren. Die korrekten Transformationseigenschaften sind:

$\bullet$Spinoren:

$$\mathcal{P}\thinspace\psi(t,x)\mathcal{P}^\dagger\ =\ \gamma^0\ \psi\thinspace(t,-x)\ ,$$ $$\mathcal{P}\thinspace\bar{\psi}\thinspace(t,x)\mathcal{P}^\dagger\ =\ \psi^\dagger\thinspace(t,-x)\ ,$$

$\bullet$Vektoren:

$$\mathcal{P}\thinspace V^\mu\thinspace(t,x)\mathcal{P}^\dagger\ =\ \eta_{\mu\nu}\thinspace V^\nu\thinspace(t,-x)\ =\ V_\mu(t,-x)$$

Mit Vektoren meine ich hier Größen wie das Potential$A^\mu$, die partielle Ableitung$\partial^\mu$oder der Strom$\bar{\psi}\gamma^\mu\psi$.

Sie können überprüfen, ob dies die gewünschten Transformationseigenschaften sind. Der Dirac Lagrange ist

$$\mathcal{L}_D=\bar{\psi}(i\gamma_\mu\partial^\mu-m)\psi.$$

Es ist paritätsinvariant, da sowohl der Massen- als auch der kinetische Term paritätsinvariant sind:

$$\mathcal{P}\bar{\psi}\psi\mathcal{P}^\dagger\ =\ \mathcal{P}\bar{\psi}\mathcal{P}^\dagger\thinspace\mathcal{P}\psi\mathcal{P}^\dagger\ =\ \psi^\dagger\gamma^0\psi\ =\ \bar{\psi}\psi.$$

$$\mathcal{P}\thinspace\bar{\psi}\gamma_\mu\partial^\mu\psi\mathcal{P}^\dagger\ =\ \mathcal{P}\bar{\psi}\mathcal{P}^\dagger\thinspace\gamma_\mu\mathcal{P}\partial^\mu\mathcal{P}^\dagger\mathcal{P}\psi\mathcal{P}^\dagger\ =\ \psi^\dagger\gamma_\mu\gamma^0\partial_\mu\psi\ =\ \bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi$$

wobei wir in der letzten Gleichheit die Eigenschaft verwendet haben$\gamma^0\gamma^\mu=\gamma_\mu\gamma^0$.

Der Maxwell Lagrangian ist

$$\mathcal{L}_M\ = \ -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

wobei der Maxwell-Tensor definiert ist als$F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$. Aus dieser Definition geht hervor, dass jeder Index in$F^{\mu\nu}$transformiert als Vektor, also

$$\mathcal{P} F^{\mu\nu}\mathcal{P}^\dagger=F_{\mu\nu}.$$

Folglich ist Maxwells Lagrangian paritätsinvaiant.

Mit Einstein-Lagrangian meinen Sie die Einstein-Hilbert-Aktion? oder Einsteins Gleichungen?