Paritätstransformation für Spinoren (Pinoren) in ungeraden Raumzeitdimensionen

Wie lautet das Transformationsgesetz für Spinoren (Pinoren) unter Parität in einer ungeraden Anzahl von Raumzeitdimensionen?

Ich weiß, wie man die Transformationseigenschaften von Spinoren (Pinoren) unter Parität in einer geraden Anzahl von Raumzeitdimensionen herleitet. Lassen

$$\eta^{ab} = \mathrm{diag} (1, 1\ldots 1, -1, -1 \ldots -1)$$ wo sind sie $p$Einträge von $1$Und $q$Einträge von $-1$, Und $p+q=n$. Lassen Sie die Gamma-Matrizen $\gamma^a$erzeuge die echte Clifford-Algebra $\mathrm{Cl}(p,q)$, $$\{ \gamma^a, \gamma^b \} = 2 \eta^{ab}$$
Die Pin-Gruppe $\mathrm{Pin}(p,q)$ist definiert als die Menge der invertierbaren Elemente $S_{\Lambda}$von $\mathrm{Cl}(p,q)$das befriedigt $$S_{\Lambda} \gamma^a S_{\Lambda}^{-1} = {\Lambda^a}_b \gamma^b$$ für irgendein Element ${\Lambda^a}_b$der orthogonalen Gruppe $\mathrm{O}(p,q)$, und auch $S_{\Lambda}S_{\Lambda}^{\tau} = \pm 1$, wobei das hochgestellte $\tau$bezeichnet einen linearen Operator, der die Reihenfolge der Produkte umkehrt, z $(\gamma_0 \gamma_1 \gamma_2)^{\tau} = \gamma_2 \gamma_1 \gamma_0$. Für jede $\Lambda$, dafür gibt es zwei Lösungen $S_{\Lambda}$die sich durch ein Minuszeichen unterscheiden, und die Karte, die diese beiden Lösungen an sendet $\Lambda$ist ein $2-1$, Homomorphismus aus $\mathrm{Pin}(p,q)$Zu $\mathrm{O}(p,q)$.

Eine Paritätstransformation in der orthogonalen Gruppe$\mathrm{O}(p,q)$das invertiert die$i$-te Raumachse ist gegeben durch$P_i = \mathrm{diag}(1, 1 \ldots 1, -1, 1, 1, \ldots 1)$, mit dem Eintrag von$-1$wirken auf die$i$-te Raumachse. Um eine Paritätstransformation auf einem Spinor (pinor) zu finden, löst man obige Gleichungen nach auf$\Lambda = P_i$. In einer geraden Anzahl von Raumzeitdimensionen ist die Lösung

$$S_{P_i} = \pm \gamma_i \gamma_n$$ Wo $\gamma_n = \prod_{a=0}^{n-1} \gamma_a$.

Entscheidend für diese Arbeit ist die Tatsache, dass$\gamma_n$Anti-Kombinationen mit allen Gamma-Matrizen$\gamma_a$in gerader Zahl$n$von raumzeitlichen Dimensionen. Allerdings in einer ungeraden Anzahl von Raumzeitdimensionen, der Operator$\gamma_n$ist proportional zur Identitätsmatrix und pendelt somit mit allem. Und tatsächlich glaube ich, dass es keinen Operator in einer ungeraden Anzahl von Raumzeitdimensionen gibt, der mit allen Gammamatrizen antikommutiert$\gamma_a$. Infolgedessen kann ich nicht erkennen, dass es eine Lösung für die obigen Gleichungen für eine Paritätstransformation auf Spinoren (Pinoren) in ungeraden Dimensionen gibt.

Die Hauptreferenz, die ich verwendet habe, ist http://arxiv.org/abs/math-ph/0012006 . In Abschnitt 5, Seite 65, kommt man zu einem ähnlichen Schluss. Dann spricht man von der 2-1-Homomorphie/Bedeckungskarte aus$\mathrm{Pin}(p,q)$Zu$\mathrm{O}(p,q)$Das oben angegebene ist in einer ungeraden Anzahl von Raumzeitdimensionen nicht surjektiv, und insbesondere "trifft" es nicht auf Achsenreflexionen$\mathrm{O}(p,q)$.